已知函数 (f: {1,2,3} o {1,2,3}) 满足 (f(f(x))=f(x)), 则这样的函数有(underline{qquadqquad})个.
解析: 设 ({A,B,C}={1,2,3}), 则 (A) 可表示集合 ({1,2,3}) 中任一元素, 又$$
f(A)=f(f(A))=f(f(f(A)))=cdots.$$ 如图, 图中 $$f=f_1=f_2=f_3=cdots,$$ 所以 (f_k(kgeqslant 2,kinmathbb{N}^ast)) 中只能出现"平"射 (() 如 (A o A) 型 ()), 断然不可能出现"斜''射 (() 如 (A o B) 型 ()),
以下分类计数$:$ 情形一 当 $f(A)$ 的值域中只有一个元素时, 此时的满足题意的映射 $f$ 有 $mathrm{C}_3^1$ 个, 如图
情形二 当 $f(A)$ 的值域中只有两个元素时, 此时的满足题意的映射 $f$ 有 $mathrm{C}_3^2cdot mathrm{C}_2^1$ 个, 如图
情形三 当 $f(A)$ 的值域中有三个元素时, 此时的满足题意的映射 $f$ 有 $1$ 个, 如图
综上, 满足题意的函数 $f$ 共计 $10$ 个.