在等腰( riangle ABC)中,角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c),其中(B)为钝角,且(b-)(sqrt{3}asin A)(=b)(cos 2A),点(D)与点(B)在直线(AC)的两侧,且(CD=3AD=3),则( riangle BCD)的面积的最大值是((qquad))
(mathrm{A}.dfrac{3}{4}sqrt{3}qquad) (mathrm{B}.4sqrt{3}qquad) (mathrm{C}.dfrac{5}{4}sqrt{3}qquad) (mathrm{D}.3)
解析: 由题中所给条件等式可得$$
egin{split}
sin B-sqrt{3}sin^2 A&=sin Bcos 2A &=sin B-2sin B sin^2A.
end{split}$$所以(sin B=dfrac{sqrt{3}}{2}),又因为(B)为钝角,所以$$B=dfrac{2pi}{3}.$$固定(DC)边,则(A)点在以(D)为圆心,以(1)为半径的圆上运动,如图所示
则$B$点在以$E$为圆心,以$dfrac{sqrt{3}}{3}$为半径的圆上运动,其中$angle DEC=dfrac{2pi}{3}$,$ED=EC$,于是$ riangle BDC$的面积最大值为$$egin{split} S_{ riangle BDC}ig | _{mathrm{max}}& =dfrac{1}{2}cdot |CD|cdotleft(|EB|+|CE|sindfrac{pi}{6} ight)\ &=dfrac{5sqrt{3}}{4}. end{split}$$