三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点(A)是椭圆的一个短轴端点,如果以(A)为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率的取值范围是(underline{qquadqquad}).
解析: ( riangle ABC)与椭圆如图所示,不妨设椭圆方程为$$
dfrac{x2}{a2}+dfrac{y2}{b2}=1,a>b>0.$$
因此原椭圆在新坐标系下的直角坐标方程为$$dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}+dfrac{2y}{b}=0.qquad (ast)$$建立以新坐标系坐标原点$O$为极点,以新坐标系的$x$轴的正半轴为极轴的极坐标系,设$$angle CAx= heta, hetainleft(0,dfrac{pi}{2} ight).$$则$C,B$点的极坐标可设为$$Cleft( ho_1,2pi- heta ight),Bleft( ho_2,2pi- heta-dfrac{pi}{2} ight),$$则$C$的直角坐标可表示为$$Cleft( ho_1 cos heta,- ho_1 sin heta ight),Bleft(- ho_2 sin heta,- ho_2 cos heta ight)$$将$C,B$两点坐标分别代入方程$(ast)$,并整理可得$$ ho_1=dfrac{dfrac{2sin heta}{b}}{dfrac{cos^2 heta}{a^2}+dfrac{sin^2 heta}{b^2}}, ho_2=dfrac{dfrac{2cos heta}{b}}{dfrac{sin^2 heta}{a^2}+dfrac{cos^2 heta}{b^2}}.$$结合$ ho_1= ho_2$可得关于$ heta$的方程$$ dfrac{b^2}{a^2} an^3 heta- an^2 heta+ an heta-dfrac{b^2}{a^2}=0, hetainleft(0,dfrac{pi}{2} ight).$$ 题意即关于$ an heta$的方程有三个解,易求得$dfrac{b^2}{a^2}$的取值范围为$left(0,dfrac{1}{3} ight)$,因此所求离心率的取值范围为$left(dfrac{sqrt{6}}{3},1 ight)$.