定义在封闭的平面区域(D)内任意两点的距离的最大值称为平面区域(D)的``直径''.已知锐角三角形的三个顶点(A,B,C)在半径为(1)的圆上,且(angle BAC=dfrac{pi}{3}),分别以( riangle ABC)各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和( riangle ABC)构成平面区域(D),则平面区域(D)的"直径"的最大值是(underline{qquadqquad}).
解析: 如图将平面区域(D)划分为四块
区域(
m I:)以(AB)为直径的半圆(()包含周长())区域.
区域(
m II:)以(BC)为直径的半圆(()包含周长())区域.
区域(
m III:)以(CA)为直径的半圆(()包含周长())区域.
区域(
m IV:)( riangle ABC)内部的(()不包含周长())区域.
如图,$D,E,F$分别为$ riangle ABC$三边上的中点,分别连接并延长$DE,EF,DF$交区域$D$的边界于$G,H,I,J,K,L$六点, 根据题意,仅需考察以下三组距离的最大值即可$:$ 区域$ m I$内点到$ m II$内点的距离,区域$ m II$内点到$ m III$内点的距离,区域$ m I$内点到$ m III$内点的距离. 而区域$ m I$内点到区域$ m II$内点的最大值即$|KL|$,又$$ |DL|=|DB|,|FK|=|FB|.$$ 所以区域$ m I$内点到区域$ m II$内点距离的最大值即$ riangle BDF$的周长,记为$C_{ riangle BDF}$,于是原题转化为求$$ mathrm{max}left{C_{ riangle BDF},C_{ riangle CEF},C_{ riangle ADE} ight}.$$ 而$$C_{ riangle BDF}=C_{ riangle CEF}=C_{ riangle ADE}=dfrac12C_{ riangle ABC}.$$于是问题进一步转化为求$ riangle ABC$周长的最大值,也即求$AB+AC$的最大值,分别记$$ (BC,AC,AB)=(a,b,c).$$则由余弦定理$$ b^2+c^2-a^2=2bccos A=bc.$$于是$$ (b+c)^2-3=3bcleqslant dfrac{3}{4}left(b+c ight)^2.$$所以$b+c$的最大值为$2sqrt3$,当且仅当$b=c=sqrt3$时取得,因此平面区域$D$的``直径''的最大值为$dfrac{3sqrt{3}}{2}$.