每日一题_191007

在平面直角坐标系(xOy)中,动点(M)与两定点((-sqrt2,0)),((sqrt2,0))连线的斜率之积为(-dfrac 12).
((1)) 求动点(M)的轨迹(E)的方程;
((2)) 过点((2,2))作(E)的两条切线,切点分别为(A,B),过点(Pleft(dfrac{1}{2},dfrac14 ight))作直线与(E)交于(C,D()异于(A,B))两点,且满足(|PA|cdot |PB|=|PC|cdot |PD|).
(I) 证明: (P,A,B)三点共线;
(II) 求直线(CD)的斜率.

解析:
((1)) 设动点(Mleft(x,y ight)),其中(x eq pmsqrt{2}),则$$
dfrac{y-0}{x-sqrt{2}}cdot dfrac{y-0}{x-left(-sqrt{2} ight)}=-dfrac{1}{2}.$$整理可得(M)的轨迹(E)的方程为$$
dfrac{x^2}{2}+y2=1,x eqpm sqrt{2}.$$

((2)) (I) (qquad)法一 (qquad)点((2,2))关于曲线(E)的切点弦方程为$$
l_{AB}:x+2y=1.$$显然(P)点的坐标满足该直线方程,因此(P,A,B)三点共线得证.

法二 (qquad) 设点(A,B)的坐标分别为((x_1,y_1)),((x_2,y_2)),记(Q(2,2)),则直线(QA)的方程为

[l_{QA}: dfrac{x_1x}{2}+y_1y=1.$$证明如下,考虑方程组$$(ast)qquad dfrac{x_1x}{2}+y_1y=1, dfrac{x^2}{2}+y^2=1,dfrac{x_1^2}{2}+y_1^2=1. $$ 联立以上三式可得]

dfrac{(x-x_1)^{2}{2}+left(y-y_1 ight)}2=0.$$因此不等式组((ast))有且仅有一解((x,y)=(x_1,y_1)),所以直线(l_{QA})与曲线(E)相切于点(A),同理可证$$l_{QB}: dfrac{x_2x}{2}+y_2y=1.$$由于(Q)同时满足直线(l_{QA})与(l_{QB})的方程,即有$$
x_1+2y_1=1,x_2+2y_2=1.

[ 所以$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$均满足直线方程$x+2y=1$,因此直线$AB$的方程为$$l_{AB}: x+2y=1.$$显然$Pleft(dfrac{1}{2},dfrac{1}{4} ight)$满足该直线方程,因此$P,A,B$三点共线得证. (II) $qquad$ 根据$AB$直线方程,易得直线$AB$的一个参数方程如下]

egin{cases}
x=dfrac{1}{2}-dfrac{2sqrt{5}}{5}t,
y=dfrac{1}{4}+dfrac{sqrt{5}}{5}t,
end{cases} ext{(t)为参数}.$$
将该参数方程代入曲线(E)的直角坐标方程并整理可得$$dfrac{3}{5}t^2-dfrac{sqrt{5}}{10}t-dfrac{13}{16}=0.$$
设(A,B)两点对应的参数分别为(t_1,t_2),则(t_1,t_2)是上述方程的解,则$$|PA|cdot |PB|=|t_1t_2|=dfrac{65}{48}.$$
设直线(CD)的倾斜角为( heta),则直线(CD)的一个参数方程为$$
egin{cases}
x=dfrac{1}{2}+tcos heta,
y=dfrac{1}{4}+tsin heta,
end{cases} ext{(t)为参数}.$$
将该参数方程代入曲线(E)的直角坐标方程并整理可得$$left(dfrac{1}{2}cos^{2 heta+sin}2 heta ight)cdot t^2+dfrac{1}{2}left(cos heta+sin heta ight)cdot t-dfrac{13}{16}=0.

[设$C,D$两点对应的参数分别为$t_3,t_4$,则$t_3,t_4$是上述方程的解,则 ]

|PC|cdot|PD|=|t_3t_4|=dfrac{13}{8(1+sin^2 heta)}.$$又因为(|PA|cdot |PB|=|PC|cdot |PD|),所以$$dfrac{65}{48}=
dfrac{13}{8(1+sin^2 heta)}.$$解得(sin heta=dfrac{sqrt{5}}{5}),又因为(CD)直线与(AB)直线不重合,因此直线(CD)的斜率为( an heta=dfrac{1}{2}).
由于$$|PA|cdot |PB|=|PC|cdot |PD|.$$所以(A,B,C,D)四点共圆,因此直线(AB,CD)斜率互为相反数,因此(CD)的斜率为(dfrac12).