每日一题_191008

已知椭圆(C:dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1) ((a>b>0))的离心率为(dfrac{sqrt{2}}{2}),短轴长为(4).
((1)) 求椭圆(C)的方程;
((2)) 过点(N(0,2))作两条直线,分别交椭圆(C)于(A,B)两点(异于(N)点),当直线(NA,NB)的斜率之和为定值(t(t eq 0))时,直线(AB)是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

解析:
((1)) 由题$$2b=4,dfrac{b}{a}=sqrt{1-left(dfrac{sqrt{2}}{2} ight)^2},$$联立解得(a=2sqrt{2},b=2),所以所求椭圆方程为(dfrac{x^2}{8}+dfrac{y^2}{4}=1).
((2)) 恒过定点.将原坐标系平移,使原坐标系的原点(O)平移至(N)处,则新坐标系下的椭圆方程为$$
dfrac{x^{2}{8}+dfrac{y}2}{4}+y=0.$$
由于直线(AB)不经过(N)点,因此可设新坐标系下直线(AB)的方程为(mx+ny=1),将直曲化齐次联立可得$$
dfrac{x^{2}{8}+dfrac{y}2}{4}+yleft(mx+ny ight)=0.$$即得关于(dfrac{y}{x})的一元二次方程$$
left(n+dfrac{1}{4} ight)cdotdfrac{y^2}{x2}+mcdot dfrac yx+dfrac{1}{8}=0.$$若设新坐标系下 (A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)) . 则(dfrac{y_1}{x_1},dfrac{y_2}{x_2})分别表示直线(NA,NB)的斜率,于是由韦达定理$$ dfrac{-m}{n+dfrac{1}{4}}=t.$$从而(m=-tleft(n+dfrac{1}{4} ight)),代入直线(mx+ny=1)中可得$$
-dfrac{t}{4}x-1+nleft(-tx+y ight)=0.$$因此无论(n)取何值,上述直线恒过定点(left(-dfrac{4}{t},-4 ight)).证毕.