每日一题_191009

已知(f(x)=x^2+(1-2a)x-a{ln}x) ((a>0))有两个零点(x_1,x_2).
((1)) 求(a)的取值范围(;)
((2)) 求证(: x_1x_2>1).
解析:
((1)) 原题等价于下述函数有两个零点$$
g(x)=dfrac{2x+{ln}x}{x^2+x}-dfrac{1}{a},a>0.$$对(g(x))求导可得$$
g'(x)=dfrac{left(2x+1 ight)left(1-x-{ln}x ight)}{x^2+x},x>0.$$
因此(g(x))在区间((0,1))单调递增,在区间([1,+infty))单调递减.以下对(a)的取值分类讨论说明(:)
情形一 当(ainleft(0,1 ight)),则$$forall x>0,g(x)<g(1)=1-dfrac{1}{a}<0.$$此时函数(g(x))无零点,不符题设,舍去.
情形二 当(a=1),此时(g(x))有唯一零点(x=1),亦不符题设,舍去.
情形三 当(a>1),由于$$
egin{cases}
exists x_0=1,g(x_0)>0,
exists x_3=dfrac{1}{mathrm{e}}<x_0,g(x_3)<0,
exists x_4=4a^2>x_0, g(x_4)<dfrac{2+{ln}x_4}{x_4}-dfrac{1}{a}<dfrac{2}{sqrt{x_4}}-dfrac{1}{a}=0.
end{cases}$$
此时函数(g(x))有且仅有两个零点,且两个零点分别位于区间((x_3,x_0))与((x_0,x_4))内.综上(a)的取值范围为((1,+infty)).
((2))
法一 由题$$
(ast)qquad egin{cases}
x_1^2+(1-2a)x_1=a{ln}x_1,
x_2^2+(1-2a)x_2=a{ln}x_2,
end{cases}$$
其中(a>1),将两式作差并结合对数平均不等式可得$$dfrac{left(x_1+x_2 ight)+1-2a}{a}=dfrac{{ln}x_1-{ln}x_2}{x_1-x_2}>dfrac{2}{x_1+x_2}.$$
因此我们有$$left(x_1+x_2 ight)^2+left(1-2a ight)(x_1+x_2)>2a.$$再将((ast))中的两式相加可得$$
(x_1+x_2)^2+left(1-2a ight)(x_1+x_2)=a{ln}x_1x_2+2x_1x_2.$$
于是$$a{ln}x_1x_2+2x_1x_2>2a>2,a>1.$$记(h(t)=a{ln}t+2t),显然(h(t))为单调递增函数,且(h(1)=2),所以由(h(x_1x_2)>2)可得$$x_1x_2>1.$$
法二 结合((1))可知(0<x_1<1<x_2) ,所以原题等价于证明$$0<dfrac{1}{x_2}<x_1<1.$$又因(g(x))在((0,1))单调递增,所以原题又等价于证明 $$g(x_2)=g(x_1)>gleft(dfrac{1}{x_2} ight).$$
记 (x=x_2) ,则上述不等式的证明等价于证明$$
forall x>1,dfrac{2x+{ln}x}{x^{2+x}>dfrac{2x-x}2{ln}x}{x+1}.$$即证$$
forall x>1,{ln}x>dfrac{2x(x-1)}{x^3+1}.$$而$$
forall x>1,LHS={ln}x>dfrac{2(x-1)}{x+1}>dfrac{2x(x-1)}{x^3+1}=RHS.$$证毕.