设(f(x))是定义在(mathbb{R})上的奇函数,且当(xgeqslant 0)时,(f(x)=x^2),若对任意的(xinleft[t,t+2
ight]),不等式(f(x+t)geqslant 2f(x))恒成立,则实数(t)的取值范围是$(qquad) (
)mathrm{A}.left[sqrt{2},+infty
ight) $ (qquad mathrm{B}.left[2,+infty
ight)) (qquad mathrm{C}.left(0,2
ight]) (qquad mathrm{D}.left[-sqrt{2},-1
ight]cupleft[sqrt{2},sqrt{3}
ight])
解析:
由题易知$$
f(x)=
egin{cases}
x^2,&xgeqslant 0,
-x^2,&x<0.
end{cases}$$
因此(f(x))为单调递增函数,而$$2f(x)=fleft(sqrt{2}x
ight).$$因此题中不等式等价于$$
f(x+t)geqslant f(sqrt{2}x).$$再结合(f(x))的单调性可知$$
forall xinleft[t,t+2
ight],x+tgeqslant sqrt{2} x.$$即有$$tgeqslant left(sqrt{2}-1
ight)left(t+2
ight).$$
解得(t)的取值范围为(left[sqrt{2},+infty
ight)),因此(
m A)选项正确.