每日一题_191020

已知函数(f(x)=mathrm{e}^xleft(x-dfrac{a}{x}-2 ight)) ((0,+infty)),其中(mathrm{e}=2.71828cdots)是自然对数的底数.
((1)) 求函数(f(x))的递增区间(;)
((2)) 若函数(f(x))为定义域上的增函数,且(f(x_1)+f(x_2)=-4mathrm{e}),证明(:x_1+x_2geqslant 2).
解析:
((1)) 含参单调性讨论 对(f(x))求导可得$$f'(x)=dfrac{mathrm{e}^x(x-1)(x2-a)}{x^2},x>0.$$
情形一 若(aleqslant 0), 则(f(x))的递增区间为([1,+infty)).
情形二 若(ainleft(0,1 ight)),则(f(x))的递增区间为((0,sqrt a])与([1,+infty)).
情形三 若(a=1),则(f(x))在整个定义域内单调递增,单调递增区间为((0,+infty)).
情形四 若(a>1),则(f(x))的递增区间为((0,1])与([sqrt a,+infty)).
((2)) 结合((1))可知,若要(f(x))为单调递增函数,则必须(a=1),因此$$ f(x)=mathrm{e}^xleft(x-dfrac{1}{x}-2 ight),x>0.$$不妨设(x_1leqslant x_2),由于(f(x))单调递增,且(f(1)=-2mathrm{e}),所以题中(x_1,x_2)必然满足$$0<x_1leqslant 1leqslant x_2.$$于是原题等价于证明$$
f(2-x_1)leqslant f(x_2)=-4mathrm{e}-f(x_1).$$构造函数$$F(x)=f(x)+f(2-x)+4mathrm{e},xinleft(0,1 ight].$$仅需证明(forall xinleft(0,1 ight],F(x)leqslant 0).对(F(x))求导可得$$
egin{split}
F'(x)&=f'(x)-f'(2-x)
&=dfrac{mathrm{e}^x(x-1)2(x+1)}{x^{2}-dfrac{mathrm{e}}{2-x}(1-x)^{2(3-x)}{(2-x)}2}
&=mathrm{e}^{{2-x}(x+1)(x-1)}2left[dfrac{mathrm{e}^{2x-2}}{x2}-dfrac{3-x}{(x+1)(2-x)^2} ight]
end{split}$$
容易证明$$forall xin(0,1],dfrac{mathrm{e}^{2x-2}}{x2}geqslant 1geqslant dfrac{3-x}{(x+1)(2-x)^2}.$$因此$$forall xin(0,1],F'(x)geqslant 0.$$所以(F(x))单调递增,因此$$forall xin(0,1],F(x)leqslant F(1)=0.$$于是原题证毕.