若对于任意正实数(x),都有({ln}x-amathrm{e}x-b+1leqslant 0)成立((mathrm{e})为自然对数的底数()),则(a+b)的最小值为(underline{qquadqquad}.)
解析
记题中所给不等式左侧为(f(x)).显然(a>0),否则,总存在(x=mathrm{e}^b)使得$$
f(x)=b-amathrm{e}x-b+1>0.$$不符题设.因此当(a>0)时我们有$$
f(x)leqslant fleft(dfrac{1}{amathrm{e}}
ight) =-{ln}a-1-bleqslant 0. $$从而(bgeqslant -{ln}a-1).于是$$
a+bgeqslant a-1-{ln}ageqslant 0.$$因此当且仅当((a,b)=(1,-1))时,(a+b)取得最小值(0).