每日一题_191104

已知函数(f(x))满足(f(x)=f'(1)mathrm{e}^{x-1}-f(0)x+dfrac{1}{2}x^2).
((1)) 求(f(x))的解析式及单调区间(;) ((2)) 若(f(x)geqslant dfrac{1}{2}x^2+ax+b),求((a+1)b)的最大值.
解析:
((1)) 对(f(x))求导可得(f'(x)=f'(1)mathrm{e}^{x-1}-f(0)+x,xinmathbb{R}.)由$$
f'(1)=f'(1)-f(0)+1,f(0)=dfrac{f'(1)}{mathrm{e}}.$$联解得(left(f(0),f'(1) ight)=left(1,mathrm{e} ight)).所以$$f(x)=mathrm{e}^{x-x+dfrac{1}{2}x}2,f'(x)=mathrm{e}^x+x-1>0,xinmathbb{R}.$$因此(f(x))在((-infty,0))单调递减,在([0,+infty))单调递增.
((2)) 题中所给条件不等式即$$forall xinmathbb{R}, mathrm{e}^x- (a+1)x-bgeqslant 0.$$
情形一 若(a+1<0),则$$exists x_0=dfrac{|b|+1}{a+1}<0,mathrm{e}^{x_0}-(a+1)x_0-b<1-(|b|+1)-bleqslant 0.$$不符题设,舍去.
情形二 若(a+1=0),则((a+1)b=0).
情形三 若(a+1>0),为求((a+1)b)的最大值,仅需考虑(b>0)的情况,((a+1)b)的最大值一定是当直线(y=(a+1)x+b)与曲线(y=mathrm{e}^x)相切时取得,以下予以证明.由于$$
forall (a+1)>0,exists x_0inmathbb{R}, a+1=mathrm{e}^{x_0}.$$此时由题中已知条件不等式可知$$forall xinmathbb{R},mathrm{e}^x-mathrm{e}{x_0}xgeqslant b.$$容易求得(b_{mathrm{max}}=mathrm{e}^{x_0}(1-x_0),x_0inmathbb{R}),进而$$forall x_0inmathrm{R},(a+1)b_{mathrm{max}}=mathrm{e}^{2x_0}(1-x_0)leqslant dfrac{mathrm{e}}{2} .$$
所以((a+1)b)的最大值为(dfrac{sqrt{mathrm{e}}}{2}).当且仅当(left(x_0,a,b ight)=left(dfrac{1}{2},sqrt{mathrm{e}}-1,dfrac{sqrt{mathrm{e}}}{2} ight))时取得.