每日一题_191109

设向量(oldsymbol{a},oldsymbol{b})满足(|oldsymbol{a}+oldsymbol{b}|=2|oldsymbol{a}-oldsymbol{b}|),(|oldsymbol{a}|=3),则(|oldsymbol{b}|)的取值范围为(underline{qquadqquad}).

法一 由题设 $$left(overrightarrow{OA},overrightarrow{OB} ight)=(oldsymbol{a},oldsymbol{b}),$$不妨令(oldsymbol{a}=(3,0)).


设(left|overrightarrow{OB} ight|=b),记(M)为(AB)中点,且记(|AM|=m),则由题$$
2|OM|=|oldsymbol{a}+oldsymbol{b}|=2|oldsymbol{a}-oldsymbol{b}|=4m.$$所以(|OM|=2m),从而可判断点(M)的轨迹是阿波罗尼斯圆,且该圆方程为$$
(x-4)^2+y2=4.$$于是(m=|AM|)的取值范围为([1,3]),再结合中线长定理可得$$
|OA|^2+|OB|2=2left(|OM|^2+|MA|2 ight).$$即$$
b^2=10m2-9.$$因此(b)的取值范围为([1,9]).

法二 由题,不妨设$$
oldsymbol{a}=(3,0),oldsymbol{b}=(x,y).$$则由题中所给已知条件( |oldsymbol{a}+oldsymbol{b}|=2|oldsymbol{a}-oldsymbol{b}|,)
可得$$
(x-5)^2+y2=16.

[所以$x$的取值范围为$[1,9]$,从而]

oldsymbol{b}^2=x2+y^2=x2+16-(x-5)^2=10x-9.$$所以(|oldsymbol{b}|)的取值范围为([1,9]).