((15 ext{年湖北卷理科})) 如图,圆(C)与(x)轴相切于点(T(1,0)),与(y)轴正半轴交于两点(A,B(B)在(A)的上方()),且(|AB|=2).
((1)) 圆(C)的标准方程为(underline{qquadqquad});
((2)) 过点(A)任作一条直线与圆(O:x^2+y^2=1)相交于(M,N)两点,下列三个结论:
① (dfrac{|NA|}{|NB|}=dfrac{|MA|}{|MB|};)
② (dfrac{|NB|}{|NA|}-dfrac{|MA|}{|MB|}=2;)
③ (dfrac{|NB|}{|NA|}+dfrac{|MA|}{|MB|}=2sqrt{2};)
其中正确结论的序号是underline{qquadqquad}(写出所有正确结论的序号).
解析:
((1)) 由题可设圆(C)的标准方程为$$
(x-1)2+(y-b)2=b^2,b>0.$$
取(AB)中点(E),连接(EC),(AC)
则有$$ 1^2+1^2=|EC|^2+|EA|^2=|AC|^2=b^2.$$所以$b=sqrt2$.因此所求圆$C$的方程为$$(x-1)^2+(y-sqrt{2})^2=2.$$ $(2)$ 法一 结合$(1)$可知$A(0,sqrt{2}-1)$,$B(0,sqrt{2}+1)$,设$N(cos heta,sin heta)$,则 $$ egin{split} dfrac{|NA|}{|NB|} =&sqrt{dfrac{cos^2 heta+left(sin heta-sqrt{2}+1 ight)^2}{cos^2 heta+left(sin heta-sqrt{2}-1 ight)^2}}\ =&sqrt{ dfrac{left(sqrt{2}-sin heta ight)(sqrt{2}-1)}{(sqrt{2}-sin heta)(sqrt{2}+1)}}\ =&sqrt{3-2sqrt{2}}=sqrt{2}-1. end{split} $$ 同理可得$$ dfrac{|MA|}{|MB|}=sqrt{2}-1.$$因此结论 ①②③ 均正确. 法二 结合阿波罗尼斯圆的知识可知$A,B$两点是关于圆$O$的一对反演点,且有 $$dfrac{|NA|}{|NB|}=dfrac{|MA|}{|MB|}=sqrt{2}-1.$$因此结论 ①②③ 均正确. 法三 结合$(1)$可知$A(0,sqrt{2}-1)$,$B(0,sqrt{2}+1)$.如图,连接$OM,ON$,
由于$$dfrac{|OA|}{|ON|}=dfrac{|ON|}{|OB|}=sqrt{2}-1.$$因此 $ riangle OANsim riangle ONB $ ,于是$$ angle OBN=angle ONA=angle OMA.$$于是 $ riangle ABNsim angle AMO$ ,所以$$ dfrac{|NA|}{|NB|}=dfrac{|OA|}{|OM|}=sqrt{2}-1.$$ 因此结论 ①②③ 均正确.