已知函数(f(x)=x{ln}x-dfrac{a}{2}x^2,ainmathbb{R}).
((1)) 若(x>0),恒有(f(x)leqslant x)成立, 求实数(a)的取值范围 ;
((2)) 若函数(g(x)=f(x)-x)有两个极值点(x_1,x_2),求证:(dfrac{1}{{ln}x_1}+dfrac{1}{{ln}x_2}>2amathrm{e}).
解析:
((1)) 根据题意有$$forall x>0, {ln}x-dfrac a2xleqslant 1.$$显然(a>0), 因此仅需左侧的最大值不大于(1)即可, 即({ln}dfrac 2a-1leqslant 1), 于是可得(a)的取值范围为(left[dfrac{2}{mathrm{e}^2},+infty
ight)).
((2)) 根据题意(x_1,x_2)就是(g'(x))的两个零点,而$$g'(x)={ln}x-ax,x>0.$$因此容易知道(0<a<dfrac{1}{mathrm{e}}), 由于({ln}x_{1,2}=acdot x_{1,2}), 所以原题即证$$dfrac{1}{x_1}+dfrac{1}{x_2}>2a^2mathrm{e}.$$而由对数平均不等式可得
[ egin{split}
sqrt{x_1x_2}&<dfrac{1}{a}=dfrac{x_1}{{ln}x_1}=dfrac{x_2}{{ln}x_2}=dfrac{x_1+x_2}{{ln}x_1+{ln}x_2}\
&= dfrac{x_1-x_2}{{ln}x_1-{ln}x_2}<dfrac{x_1+x_2}{2}.
end{split}
$$因此有$$left(x_1+x_2>dfrac{2}{a}
ight)landleft(x_1x_2<dfrac{1}{a^2}
ight).$$ 于是$$dfrac{1}{x_1}+dfrac{1}{x_2}=dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}>2a>2a^2mathrm{e}.]