已知正方形(ABCD)的边长为(7),点(M,N)分别在(AB,BC)上,且(AM=BN=3),现有一束光线从点(M)射向点(N),光线每次碰到正方形的边时反射,则这束光线从第一次回到(M)时所走过的路程为((qquad))
(mathrm{A}.40sqrt{5}) (qquadmathrm{B}.60) (qquadmathrm{C}.60sqrt{5}) (qquadmathrm{D}.70)}
解析
如图所示,将边(AD)关于(BC)对称得到(A_1D_1),将(BC)关于(A_1D_1)对称得到(B_1C_1),
依此类推.则光线第$k$次回到边$AB$上时,在水平方向走过的路程为$$|M_0M_k|=kcdot 2cdot 7cdot dfrac{4}{3}=dfrac{56k}{3},k=1,2,3,cdots.$$ 由于在直线$AB$上任意两个相邻的$M$点的间距为$8$或$6$,所以当$M_k$与$M_0$重合时,有两种可能. 情形一 若 $$ egin{split} &|M_0M_k|=(4+4+3+3)cdot (n-1)+(4+4)\ Longleftrightarrow &56k=42(n-1)+24\ &ninmathbb{N}^ast. end{split} $$ 由于$$ LHS eq RHSpmod{7}.$$ 所以该种情形不可能. 情形二 若$$|M_0M_k|=(4+4+3+3)cdot nLeftrightarrow 56k=42n,ninmathbb{N}^ast. $$所以$k=dfrac{3}{4}n$,当$n=4$时,$k$取得最小值,相应的$left|M_0M_k ight|$也取得最小值$56$,光线走过的实际最短路程为$$ dfrac{5}{4}cdotleft| M_0M_k ight|=70.$$