该来的总是要来的————————
经典问题，石子合并。
对于 f[i][j]= min{f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]}
From 黑书
凸四边形不等式：w[a][c]+w[b][d]<=w[b][c]+w[a][d]（a<b<c<d）
区间包含关系单调: w[b][c]<=w[a][d]（a<b<c<d）
定理1： 如果w同时满足四边形不等式和决策单调性 ,则f也满足四边形不等式
定理2： 若f满足四边形不等式，则决策s满足 s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]
定理3： w为凸当且仅当w[i][j]+w[i+1][j+1]<=w[i+1][j]+w[i][j+1]
简要证明：
若w[a][c]+w[b][d]<=w[b][c]+w[a][d]，归纳证明f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d]
设f[a][d]最优决策是在s取到,f[b][c]最优决策在t取到,设s<t,反之同理
可知a<s<t<c<d
f[a][c]+f[b][d]<=f[a][s]+f[s+1][c]+w[a][c] + f[b][t]+f[t+1][d]+w[b][d]
=f[a][s]+f[s+1][c]+w[a][d] + f[b][t]+f[t+1][d]+w[b][c]
<=f[a][s]+w[a][d]+f[s+1][d] + f[b][t]+w[b][c]+f[t+1][c] 归纳得到 sc+td<sd+tc 起始条件即定理3
=f[a][d]+f[b][c]
得证.
若f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d],则s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]
仅证s[i][j-1]<=s[i][j],右边同理
记f_k[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]
记s点为[i,j]最优点,t点为[i,j+1]最优点,
则只需证明 在[i,j+1]决策时, 取s点能够比取在k∈[i,s-1]的点更优即可
即证明 f_s[i,j+1]<=f_k[i,j+1]
又因为f_s[i,j]<=f_k[i,j]
只需证明 0 <= f_k[i,j] - f_s[i,j] <= f_k[i,j+1] - f_s[i,j+1]
可发现右边即 f_k[i,j] + f_s[i,j+1] <= f_k[i,j+1] + f_s[i,j]
展开后即： f[k][j] + f[s][j+1] <= f[k][j+1] + f[s][j]
正是 k<s<j<j+1 的四边形不等式
得证.
一般利用定理3证明凸函数，然后利用定理2的结论 s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]
就能够使得复杂度由O(n^3)降低为O(n^2)
详细证明参见《动态规划算法的优化技巧》--毛子青（会因为论文用i,j,i',j'搞得雾水，但是慢慢推一下就能够出来）
#include <cstdio> #include <cstring> #define N 1005 int s[N][N],f[N][N],sum[N],n; int main() { while(scanf("%d",&n)!=EOF) { memset(f,127,sizeof(f)); sum[0]=0; for(int i=1; i<=n; i++){ scanf("%d",&sum[i]); sum[i]+=sum[i-1]; f[i][i]=0; s[i][i+1]=i; } for(int i=1; i<=n; i++) f[i][i+1]=sum[i+1]-sum[i-1]; for(int i=n-2; i>=1; i--) for(int j=i+2; j<=n; j++) for(int k=s[i][j-1]; k<=s[i+1][j]; k++) if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]) { f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]; s[i][j]=k; } printf("%d ",f[1][n]); } return 0; }
值得注意的是：若是求石子合并的最大值，则不能用四边形不等式。可以证明 f[i,j]=max(f[i+1][j],f[i][j-1])+w[i][j]
POJ1160
f[i][j]=max(f[k][j-1]+w[k+1][i])
其中f[i][j]表示前i个村落有j个邮电局，w[i][j]表示[i,j]区间上安装一个邮电局最短路径和
其中w[i][j]邮电局必然是安装在(i+j)/2（中位数）的村落中，若(i+j)/2不为整数，则中间两个村落都可以。证明可以看《算法导论》
至于四边形不等式，这次，可以直接容易得到 s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j] 稍微证明下就可以出来，凭感觉都是对的。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define min(x,y) (x>y?y:x)
int v,p,a[305],sum[305],w[305][305],f[305][35],s[305][35];
int main()
{
memset(f,127,sizeof(f));
scanf("%d%d",&v,&p);
for(int i=1; i<=v; i++){
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=a[i]+sum[i-1];
}
for(int i=1; i<=v; i++){
w[i][i]=0;
for(int j=i+1; j<=v; j++){
w[i][j]=sum[j]-sum[(i+j)/2]-sum[(i+j)/2-1]+sum[i-1];
if((i+j)%2!=0) w[i][j]-=a[(i+j)/2];
}
}
for(int i=1; i<=v; i++)
f[i][1]=w[1][i];
for(int j=2; j<=p; j++){
s[v+1][j]=v-1;
for(int i=v; i>=j; i--)
{
for(int k=s[i][j-1]; k<=s[i+1][j]; k++)
if(f[i][j]>f[k][j-1]+w[k+1][i])
{
f[i][j]=f[k][j-1]+w[k+1][i];
s[i][j]=k;
}
}
}
printf("%d",f[v][p]);
return 0;
}