【HDU5710】Digit-Sum-思维+构造

测试地址：Digit-Sum
题目大意： 令$S(n)$为$n$的十进制表示的各个数位之和，要求构造出一个最小正整数满足$acdot S(n)=bcdot S(2n)$。
做法： 本题需要用到思维+构造。
我们尝试找出从$n$变成$2n$后，数位和的变化。令$n$包含的$ge 5$的数位有$x$个，那么变成$2n$后就会进$x$次位，每进一次位，个位减$10$，十位加$1$，所以$S(2n)=2S(n)-9x$。
于是我们就把题目中的式子改成：$(2b-a)S(n)=9bcdot x$。于是分类讨论：
当$2b-a<0$，显然无解。
当$2b-a=0$，那么$1$是最小的答案。
否则，先将$2b-a$和$9b$约分，剩下$pS(n)=qx$。有一个结论是，当$x=p,S(n)=q$时无解，则整个式子无解，否则当$x=p,S(n)=q$时得到的解最优。
首先$x=p,S(n)=q$无解，充要条件是$5x>S(n)$，当$x$变为$kp$时，$S(n)$变为$kq$，而$5kx>kS(n)$，所以还是无解。
然后，如果$x=p,S(n)=q$时有解，一种构造的方法是，首先写出$x$个$5$，然后把$S(n)$中剩余的部分尽可能加在低位上，如果$S(n)>9x$，那么就要把剩余的部分加在比$x$位更高的那些位上，显然也是尽量加在低位上，而这些位所能填的上限都是$4$（因为定义了$x$是$ge 5$的数位数，不能影响）。这样就能构造出一个解了。
那么当$x=kp,S(n)=kq$，显然解不会更优，因为堆积的位数一定会更多。这样一来，我们就可以直接按照上面的方法构造了。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,a,b,digit[10010];

int gcd(int a,int b)
{
	return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&a,&b);
		int x=2*b-a,s=9*b;
		if (x==0) {printf("1
");continue;}
		if (x<0) {printf("0
");continue;}
		
		int g=gcd(x,s);
		x/=g,s/=g;
		if (5*x>s) {printf("0
");continue;}
		
		int tot=x;
		for(int i=1;i<=x;i++)
			digit[i]=5;
		s-=5*x;
		for(int i=1;i<=x;i++)
		{
			digit[i]+=min(4,s);
			s-=digit[i]-5;
			if (!s) break;
		}
		
		while(s)
		{
			digit[++tot]=min(4,s);
			s-=digit[tot];
		}
		
		for(int i=tot;i>=1;i--)
			printf("%d",digit[i]);
		printf("
");
	}
	
	return 0;
}