【UOJ#282】长度测量鸡-数学证明

测试地址：长度测量鸡
做法：本题需要用到数学证明。
北大数院扛把子tlk大佬回母校（我校）讲课，给了这一道快乐题，比较有趣，写一下证明。
可以根据打表或者直觉得出一个结论：当n>3$n>3$时一定无解。要证明这个看上去非常简单的结论，需要用到一些比较有趣的思路。
首先n=1$n=1$时显然有解，n=2$n=2$时将木条分为长为1,2$1,2$的两段就可以，n=3$n=3$时将木条分为长为1,3,2$1,3,2$的三段就可以，这些都可以非常轻易地手算出来。然而要证明上面的结论，我们要先证明一个引理：
如果有解，那么解中各段的长度一定是1$1$~n$n$的一个排列。
容易想到，将木条划分成n$n$段，可能可以量出n(n+1)2$\frac{n(n+1)}{2}$种长度，而总的长度数量就是n(n+1)2$\frac{n(n+1)}{2}$，因此各段的长度应该两两不同。各小段长度两两不同，并且使得总长度为n(n+1)2$\frac{n(n+1)}{2}$，那么各段的长度只可能是1$1$~n$n$的一个排列。
有了这个结论，我们就可以证明一开始的结论了。首先整段的长度n(n+1)2$\frac{n(n+1)}{2}$肯定可以量出，而要量出n(n+1)2−1$\frac{n(n+1)}{2}-1$，那么木条两端一定要有一个段长度为1$1$。接着要量出n(n+1)2−2$\frac{n(n+1)}{2}-2$，因为上面的引理，不能两端都有长度为1$1$的段，因此只能在另一端分出一个长度为2$2$的段。接着，n(n+1)2−3$\frac{n(n+1)}{2}-3$就显然可以量出了（一端减去1$1$，另一端减去2$2$）。而对于n(n+1)2−4$\frac{n(n+1)}{2}-4$，因为不能同时有两个长为2$2$的段，所以只能在划分了1$1$的那一端再划分出一个长为3$3$的段。接下来是n(n+1)2−5$\frac{n(n+1)}{2}-5$，我们发现我们不能再划分长为1$1$~3$3$的段了，因此我们发现我们没有办法构造出n(n+1)2−5$\frac{n(n+1)}{2}-5$这个长度。所以当n>3$n>3$时无解。
因此用非常简洁的代码就可以解决这个问题了。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n;

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        if (n<=3) printf("1
");
        else printf("-1
");
    }
    return 0;
}