【BZOJ1062】糖果雨（NOI2008）-数形结合+二维树状数组

测试地址：糖果雨
做法：本题需要用到数形结合+二维树状数组。
这题看上去非常没有思路，因此我们来一步一步整理一下思路。
首先，我们要发现线段的颜色互不相同，并且移动的速度相等，这就说明它们的运动是周期性的，并且周期都是2len$2len$。原先我们要用一个三元组(t,l,r)$(t,l,r)$来表示一条线段，而发现了上面的共性之后，我们就可以用一个二元组(time,length)$(time,length)$来表示一条线段，具体来说，time$time$是指在一个周期内，线段的左端点到达0$0$的时刻，而length$length$则是线段的长度。这样我们就可以将一条线段用一个二维平面上的点表示出来了。
接下来，考虑询问(t,l,r)$(t,l,r)$，首先将t$t$对2len$2len$取模，然后观察一条线段(time,length)$(time,length)$与该询问相交的条件：t−r≤time≤t+r$t-r\le time\le t+r$，并且length≥l−|time−t|$length\ge l-|time-t|$。我们可以在二维平面上画出一个奇怪的图形，而我们要求的就是这个图形内的点数。
然而这个奇怪的图形非常难算，我们可以把这个图形补成一些平行四边形，然而还是很难算，因此我们分两种情况，一种是往右下斜的平行四边形，一种是往右上斜的平行四边形，我们用两个扭曲的坐标系来把平行四边形扭成矩形计算，对于第一种平行四边形，进行变换(x,y)−>(x,y+x)$(x,y)->(x,y+x)$即可，而对于第二种平行四边形，进行变换(x,y)−>(x,y−x+2len)$(x,y)->(x,y-x+2len)$（为了保证坐标非负所以加了2len$2len$）即可。那么我们就可以用二维树状数组来维护单点修改，子矩阵查询了，时间复杂度为O(nlog2len)$O(n{\log }^{2}len)$。具体的求子矩阵端点的式子可以看代码。
有一点小细节要注意，当r=len$r=len$时，有一条直线上的点会被重复计算，要注意去重。还有，树状数组不能处理坐标为0$0$的情况，将所有坐标+1$+1$即可。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,len,len2,len4;
int sum[2][4010][4010],x[1000010],y[1000010];

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

int add(int type,int x,int y,int d)
{
    x++,y++;
    for(int i=x;i<=len2;i+=lowbit(i))
        for(int j=y;j<=len4;j+=lowbit(j))
            sum[type][i][j]+=d;
}

int Sum(int type,int x,int y)
{
    x++,y++;
    if (x<=0||y<=0) return 0;
    if (x>len2) x=len2;
    if (y>len4) y=len4;
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        for(int j=y;j;j-=lowbit(j))
            ans+=sum[type][i][j];
    return ans;
}

int calc(int type,int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    return Sum(type,x2,y2)-Sum(type,x2,y1-1)-Sum(type,x1-1,y2)+Sum(type,x1-1,y1-1);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&len);
    len2=(len<<1),len4=(len<<2);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int op,t,c,l,r,d,ans;
        scanf("%d",&op);
        if (op==1)
        {
            scanf("%d%d%d%d%d",&t,&c,&l,&r,&d);
            x[c]=(t-d*l+len2)%len2;
            y[c]=r-l;
            add(0,x[c],y[c]+x[c],1);
            add(1,x[c],y[c]-x[c]+len2,1);
        }
        if (op==2)
        {
            scanf("%d%d%d",&t,&l,&r);
            t%=len2;
            ans=0;
            int flag=(r==len);
            ans+=calc(0,t,l+t,t+r,len4);
            ans+=calc(0,0,l+t-len2,t+r-len2-flag,len4);
            ans+=calc(1,t-r+len2+flag,l-t,len2,len4);
            ans+=calc(1,t-r,l-t+len2,t-1,len4);
            printf("%d
",ans);
        }
        if (op==3)
        {
            scanf("%d%d",&t,&c);
            add(0,x[c],y[c]+x[c],-1);
            add(1,x[c],y[c]-x[c]+len2,-1);
        }
    }

    return 0;
}

彩蛋：如果你看到了这里，告诉你一个小秘密——这是我在BZOJ上AC的第233道题目！真是个喜庆的数字……