【BZOJ3123】森林（SDOI2013）-树上主席树+启发式合并

测试地址：森林
做法：本题需要用到树上主席树+启发式合并。
如果树的形态固定，那么求路径第k$k$大，我们想到用主席树。求区间的第k$k$大我们是在序列上建主席树，每棵线段树代表一个前缀和，那么求路径的第k$k$大，类比序列的前缀和与树上前缀和的转化，我们可以在树上建主席树，每棵线段树代表从一个点到根路径上的信息，这样我们就可以通过x+y−lca(x,y)−fa(lca(x,y))$x+y-lca(x,y)-fa(lca(x,y))$这样的形式来得到某条路径的信息了，时间复杂度为O(nlogn)$O(n\log n)$。
现在的问题是，要求动态连边，还强制在线，我们想到LCT，但是LCT上的信息需要用splay而非线段树或主席树来维护，不能可持久化。于是我们退一步，既然O(nlogn)$O(n\log n)$不能做到，那我们就放慢其中的一个操作，使得这两个操作不互斥。
显然应该放慢的是连边的操作。注意到只有连边，所以使用启发式合并，每次合并暴力重构较小的树上的主席树和要求LCA所需的倍增信息，这样就可以做到O(nlog2n)$O(n{\log }^{2}n)$的总时间复杂度了，于是我们就解决了此题。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,t,tot,tmp,pos[80010];
int first[80010]={0},totedge=0,rt[80010]={0};
int val[80010],fa[80010][21]={0},dep[80010]={0},top[80010],siz[80010];
int seg[10000010]={0},ch[10000010][2]={0};
struct forsort
{
    int id,val;
}f[80010];
struct edge
{
    int v,next;
}e[200010];

bool cmp(forsort a,forsort b)
{
    return a.val<b.val;
}

void insert(int a,int b)
{
    e[++totedge].v=b;
    e[totedge].next=first[a];
    first[a]=totedge;
}

int find(int x)
{
    int r=x,i=x,j;
    while(r!=top[r]) r=top[r];
    while(i!=r) j=top[i],top[i]=r,i=j;
    return r;
}

void merge(int x,int y)
{
    int fx=find(x),fy=find(y);
    top[fx]=fy;
    siz[fy]+=siz[fx];
}

void buildtree(int &v,int l,int r)
{
    v=++tot;
    ch[v][0]=ch[v][1]=0;
    seg[v]=0;
    if (l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    buildtree(ch[v][0],l,mid);
    buildtree(ch[v][1],mid+1,r);
}

void add(int &v,int last,int l,int r,int x)
{
    v=++tot;
    ch[v][0]=ch[last][0];
    ch[v][1]=ch[last][1];
    seg[v]=seg[last];
    if (l==r)
    {
        seg[v]++;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if (x<=mid) add(ch[v][0],ch[last][0],l,mid,x);
    else add(ch[v][1],ch[last][1],mid+1,r,x);
    seg[v]=seg[ch[v][0]]+seg[ch[v][1]];
}

int query(int a,int b,int c,int d,int l,int r,int k)
{
    if (l==r) return l;
    int mid=(l+r)>>1;
    if (seg[ch[a][0]]+seg[ch[b][0]]-seg[ch[c][0]]-seg[ch[d][0]]<k)
    {
        k-=seg[ch[a][0]]+seg[ch[b][0]]-seg[ch[c][0]]-seg[ch[d][0]];
        return query(ch[a][1],ch[b][1],ch[c][1],ch[d][1],mid+1,r,k);
    }
    else return query(ch[a][0],ch[b][0],ch[c][0],ch[d][0],l,mid,k);
}

void rebuild(int v,int Fa)
{
    for(int i=1;i<=18;i++)
        fa[v][i]=fa[fa[v][i-1]][i-1];
    for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
        if (e[i].v!=Fa)
        {
            fa[e[i].v][0]=v;
            dep[e[i].v]=dep[v]+1;
            rt[e[i].v]=0;
            add(rt[e[i].v],rt[v],1,tmp,val[e[i].v]);
            rebuild(e[i].v,v);
        }
}

void link(int x,int y)
{
    int fx=find(x),fy=find(y);
    if (siz[fx]>siz[fy]) swap(x,y);

    fa[x][0]=y;
    dep[x]=dep[y]+1;
    rt[x]=0;
    add(rt[x],rt[y],1,tmp,val[x]);
    rebuild(x,0);

    merge(x,y);
    insert(x,y),insert(y,x);
}

int lca(int x,int y)
{
    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=18;i>=0;i--)
        if (dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
    if (x==y) return x;
    for(int i=18;i>=0;i--)
        if (fa[x][i]!=fa[y][i])
            x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}

int main()
{
    scanf("%d",&t);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&f[i].val);
        f[i].id=i;
    }
    sort(f+1,f+n+1,cmp);

    tmp=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (i==1||f[i].val!=f[i-1].val)
            pos[++tmp]=f[i].val;
        val[f[i].id]=tmp;
    }

    tot=0;
    buildtree(rt[0],1,tmp);
    dep[0]=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        top[i]=i;
        siz[i]=1;
        add(rt[i],rt[0],1,tmp,val[i]);
    }

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        link(a,b);
    }

    int lastans=0;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        char s[3];
        int x,y,k;
        scanf("%s",s);
        if (s[0]=='Q')
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
            x^=lastans,y^=lastans,k^=lastans;
            printf("%d
",lastans=pos[query(rt[x],rt[y],rt[lca(x,y)],rt[fa[lca(x,y)][0]],1,tmp,k)]);
        }
        else
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            x^=lastans,y^=lastans;
            link(x,y);
        }
    }

    return 0;
}