【BZOJ4916】神犇和蒟蒻-欧拉函数+杜教筛

测试地址：神犇和蒟蒻
做法：本题需要用到杜教筛。
啊，差不多一年没碰过这东西了，想当初学这个东西学出心理阴影了都……然而不能因为菜就停下自己的脚步，所以先做一道杜教筛基础题复健一下。
对于这道题目，第一问就是玩的，显然当i>1$i>1$时μ(i2)=0$\mu (i^2)=0$，仅有μ(1)=1$\mu (1)=1$，所以答案就是1$1$。
对于第二问，根据欧拉函数的公式，我们知道φ(i2)=iφ(i)$\phi (i^2)=i\phi (i)$，因此要求的就是这样一个积性函数前缀和：∑ni=1iφ(i)$\sum _{i=1}^{n}i\phi (i)$。按照杜教筛的套路，要找到一个好求前缀和的积性函数g$g$，使得它和要求的函数f$f$（这道题中f(n)=nφ(n)$f(n)=n\phi (n)$）的狄利克雷卷积也是一个好求前缀和的函数。这里我们找的函数是g(n)=n$g(n)=n$（在某些地方也写作id$id$），因为显然这个函数是完全积性函数，而它和f$f$的狄利克雷卷积：(f∗g)(n)=∑d|ndφ(d)⋅nd=n∑d|nφ(d)=n2$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}d\phi (d)\cdot \frac{n}{d}=n\sum _{d|n}\phi (d)=n^2$，也显然是一个完全积性函数，而且这两个函数都可以O(1)$O(1)$求出前缀和，那么令S(n)=∑ni=1f(i)$S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$，套上杜教筛的公式：
g(1)S(n)=∑ni=1(f∗g)(i)−∑ni=2g(i)S(⌊ni⌋)$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$
直接杜教筛即可，注意杜教筛要预处理前n23$n^{\frac{2}{3}}$项前缀和，要用哈希表处理记忆化，这样就可以做到O(n23)$O(n^{\frac{2}{3}})$的复杂度了。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
const ll hashsiz=2000003;
ll limit,n,phi[1000010],sum[1000010],prime[1000010];
ll hashlist[2000010]={0},hashval[2000010];
bool vis[1000010]={0};

void calc()
{
    phi[1]=1;
    prime[0]=0;
    for(ll i=2;i<=limit;i++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            prime[++prime[0]]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(ll j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=limit;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    sum[0]=0;
    for(ll i=1;i<=limit;i++)
        sum[i]=(sum[i-1]+i*phi[i])%mod;
}

ll sumg(ll n)
{
    ll inv=500000004;
    return n*(n+1)%mod*inv%mod;
}

ll sumfg(ll n)
{
    ll inv=166666668;
    return n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*inv%mod;
}

void hashinsert(ll x,ll v)
{
    ll pos=x%hashsiz;
    while(hashlist[pos]&&hashlist[pos]!=x) pos++;
    hashlist[pos]=x;
    hashval[pos]=v;
}

ll hashfind(ll x)
{
    ll pos=x%hashsiz;
    while(hashlist[pos]&&hashlist[pos]!=x) pos++;
    if (hashlist[pos]==x) return pos;
    else return -1;
}

ll solve(ll n)
{
    ll pos=hashfind(n);
    if (n<=limit) return sum[n];
    if (pos!=-1) return hashval[pos]; 
    ll ans=sumfg(n);
    for(ll i=n;i>=2;i=n/(n/i+1))
    {
        ll l=max(2ll,n/(n/i+1)+1),r=i;
        ans-=(solve(n/i)*(sumg(r)-sumg(l-1))%mod+mod)%mod;
        ans=(ans+mod)%mod;
    }
    hashinsert(n,ans);
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);

    printf("1
");

    for(ll i=1;i*i*i<=n;i++)
        if ((i+1)*(i+1)*(i+1)>n)
        {
            limit=i*i;
            break;
        }

    calc();
    printf("%lld",solve(n));

    return 0;
}