【BashuOJ2276】月饼盒-矩阵型DP

测试地址：月饼盒
题目大意：给定一个N×M的仅含非负整数的矩阵，要求求出一个不含0的矩阵，使得矩阵内元素之和最大。
做法：这是一道矩阵型DP的题目。
要做这一题，首先需要知道极大子矩阵的概念：
极大子矩阵：如果一个子矩阵不被另一个不含障碍点（本题中为0）的子矩阵包含，那么这个子矩阵是一个极大子矩阵。
这里有一个结论：元素和最大的子矩阵是一个极大子矩阵。这很容易证明，使用反证法，如果它不是一个极大子矩阵，那么一定存在包含它的更大的子矩阵，由于元素都非负，所以新的矩阵元素和一定比它大，和假设矛盾，所以结论成立。
那么我们只需要求出所有的极大子矩阵，然后求它们中元素之和的最大值即可。怎么求呢？这里利用一种叫摆线法的方法。对于每一个点，向上作一条线段，直到碰到边界或障碍点，然后将这条线段左右摇摆，不撞到障碍点或边界能达到的最大的区域就是我们所求的矩阵。显然极大子矩阵就包含在我们求的这些矩阵中。那么我们要求出一些参数才能获知具体的子矩阵。我们设up(i,j)为从点(i,j)向上作的线段长，lft(i,j)为这条线段向左摆动的最大长度，rht(i,j)为这条线段向右摆动的最大长度。up(i,j)显然可以从上往下O(MN)地处理出来，关键是如何求lft(i,j)和rht(i,j)。这时，我们再设两个数组l,r，其中l(i,j)为(i,j)向左摆动的最大长度，r(i,j)为(i,j)向右摆动的最大长度，这两个数组都可以从左往右或从右往左O(MN)地处理出来。然后再从上往下推lft(i,j)和rht(i,j)，有：
lft(i,j)=min(lft(i−1,j),l(i,j))
rht(i,j)=min(rht(i−1,j),r(i,j))
这样就可以O(MN)求出这两个数组了。求得这些参数后，每个点就唯一确定一个子矩阵了，而且我们知道这个子矩阵左上角和右下角的坐标，那么我们只需要在所有操作之前先O(MN)处理出二维前缀和，那么就可以O(1)求出子矩阵内的元素和了。这些矩阵元素和的最大值就是所求的答案。
以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m,a[1010][1010],sum[1010][1010]={0},ans;
int up[1010][1010]={0},l[1010][1010]={0},r[1010][1010]={0},lft[1010][1010]={0},rht[1010][1010]={0};

int rec(int a,int b,int c,int d)
{
    return sum[c][d]-sum[a-1][d]-sum[c][b-1]+sum[a-1][b-1];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int s=0;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            s+=a[i][j];
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+s;
        }
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if (!a[i][j]) up[i][j]=0;
            else up[i][j]=up[i-1][j]+1;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if (!a[i][j]) l[i][j]=0;
            else l[i][j]=l[i][j-1]+1;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=1;j--)
        {
            if (!a[i][j]) r[i][j]=0;
            else r[i][j]=r[i][j+1]+1;
        }
    ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if (a[i][j])
            {
                if (up[i][j]>1)
                {
                    lft[i][j]=min(lft[i-1][j],l[i][j]);
                    rht[i][j]=min(rht[i-1][j],r[i][j]);
                }
                else lft[i][j]=l[i][j],rht[i][j]=r[i][j];
                ans=max(ans,rec(i-up[i][j]+1,j-lft[i][j]+1,i,j+rht[i][j]-1));
            }
    printf("%d",ans);

    return 0;
}