【HDU1205/POJ2356/POJ3370】鸽巢原理专题

鸽巢原理是组合数学的内容，通过它可以证明一些东西的存在性。今天做了三道有关这个原理的水题，作为对这个原理证明的巩固。

HDU1205 吃糖果
测试地址：吃糖果
题目大意：有n种数字，其中有ai个i(1≤i≤n)，要求将它们排成一个序列，使得序列中相邻两项不相同，问存不存在这种序列。
做法：这个题目一看似乎没有头绪，我们不知道判断有解的条件，那么我们就考虑判断无解的条件。根据鸽巢原理，设最多的数字个数为s，数字总数为sum，若2s>sum+1，则必定不存在可能的序列。为什么呢？一个通俗易懂的证法是，我们在这个序列里逐个放入数字，先放一个出现最多的数字，再放一个其他数字，再放一个出现最多的数字……这样下去，如果出现最多的数字个数大于剩余数字个数+1（即s>(sum−s)+1）的话，就无论如何都会有两个这个数字相邻，所以当2s>sum+1时肯定无解。那么如果2s≤sum+1，是不是就肯定有解了呢？答案是肯定的。因为出现最多的数字出现了s次，那么接下来出现的数字出现次数肯定是≤s的，直接交替放置在上一次放置数字的中间即可，这样放置下去，肯定能找到一个合法的序列。那么我们就解决了这一道题。
以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int T,n;
ll sum=0,mx=0;

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        sum=mx=0;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ll a;
            scanf("%lld",&a);
            sum+=a,mx=max(mx,a);
        }
        if (mx*2<=sum+1) printf("Yes
");
        else printf("No
");
    }

    return 0;
}

POJ2356 Find a multiple
测试地址：Find a multiple
题目大意：有n个正整数组成一个集合，找出一个子集，使得子集中数字之和为n的正整数倍。
做法：用鸽巢原理可以证明，不存在无解的情况，并且解可以很容易的找出来。证明如下：设第i个数字为ai，再令S0=0,Sn=∑ni=1ai，我们可以得到一个序列S0,S1,...,Sn，这个序列中有n+1个数，而这些数除以n的余数仅有n种（0,1,...,n−1），那么必定存在一对Si,Sj，使得这两个数除以n的余数相等，即Si≡Sj(modn)，则Sj−Si=kn。不妨设i<j，因为ai均为正整数，所以Sj>Si，所以k为一个正整数，而Sj−Si=∑jk=i+1ak，所以我们就找到了一个子集使得子集内数的和为n的正整数倍。因此我们只需要O(n)找到一对同余的Si,Sj，那么子集ai+1,...,aj就是一个答案。
以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n,a[10010],sum,sum0;
bool vis[10010]={0};

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    vis[0]=1;sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum+=a[i];
        sum%=n;
        if (vis[sum])
        {
            sum0=0;
            int s,t=i;
            if (sum0==sum) s=1;
            else
            {
                for(int j=1;j<=n;j++)
                {
                    sum0+=a[j];
                    sum0%=n;
                    if (sum0==sum) {s=j+1;break;}
                }
            }
            printf("%d
",t-s+1);
            for(int j=s;j<=t;j++)
                printf("%d
",a[j]);
            break;
        }
        else vis[sum]=1;
    }

    return 0;
}

POJ3370 Halloween treats
测试地址：Halloween treats
题目大意：c个小孩要向n户人家要糖果（c≤n），第i户人家会给ai颗糖果，要找一些人家并向他们要糖果，且得到的糖果能被这些小孩平分，求一个方案。
做法：这一题和上面那题几乎一样，因为c≤n，所以以上的证明对于这一题完全适用，那么使用一样的方法就可以找到一个合法的答案。
以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int c,n,a[100010],sum,sum0;
bool vis[100010]={0};

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&c,&n)&&n!=0)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        vis[0]=1;sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            sum+=a[i];
            sum%=c;
            if (vis[sum])
            {
                sum0=0;
                int s,t=i;
                if (sum0==sum) s=1;
                else
                {
                    for(int j=1;j<=n;j++)
                    {
                        sum0+=a[j];
                        sum0%=c;
                        if (sum0==sum) {s=j+1;break;}
                    }
                }
                for(int j=s;j<=t;j++)
                    printf("%d ",j);
                printf("
");
                break;
            }
            else vis[sum]=1;
        }
    }

    return 0;
}