[洛谷P5147]随机数生成器

题目大意：
$$
f_n=
egin{cases}
frac{sumlimits_{i=1}^nf_i}n+1&(n>1)\
0&(n=1)
end{cases}
$$
求$f_n(n<2^{31})$

题解：考虑$n>2$时的情况。

$$
f_n=dfrac{sumlimits_{i=1}^nf_i}n+1\
nf_n=sumlimits_{i=1}^{n-1}f_i+f_n+n\
egin{align}
(n-1)f_n=sumlimits_{i=1}^{n-1}f_i+n\
(n-2)f_{n-1}=sumlimits_{i=1}^{n-2}f_i+n-1\
end{align}\
(1)-(2)，得：\
(n-1)f_n-(n-2)f_{n-1}=sumlimits_{i=1}^{n-1}f_i+n-(sumlimits_{i=1}^{n-2}f_i+n-1)\
(n-1)(f_n-f_{n-1})=1\
f_n-f_{n-1}=dfrac1{n-1}
$$

特别的，当$n=2$时，$f_{n-1}$无法用原来的公式来计算，所以$f_n-f_{n-1}$要特别计算，为$2$

当$n>1$时
$$
egin{align*}
ans&=2+sumlimits_{i=2}^{n-1}dfrac1i\
&=1+sumlimits_{i=1}^{n-1}dfrac1i
end{align*}
$$
但是$n<2^{31}$，无法$O(n)$计算，但是右边的东西（调和级数$H(x)$）在$n$较大时有一个公式：$H_n=ln(n)+gamma$。（$gamma$的定义就是$gamma=limlimits_{n oinfty}H_n-ln(n)$，$gamma=0.57721566490153286060651209008240243104215933593992dots$）

卡点：无

C++ Code：

#include <cstdio>
#include <cmath>
const int limit = 1000000;
const long double EulerGamma = 0.577215664901532860606512090082;

int n;
long double ans = 1;
int main() {
	scanf("%d", &n);
	if (n == 1) {
		puts("0.00000");
		return 0;
	}
	if (n <= limit) for (int i = 1; i < n; ++i) ans += 1 / static_cast<long double> (i);
	else ans += logl(n - 1) + EulerGamma;
	printf("%.5Lf
", ans);
	return 0;
}