题目大意： 有一张 (n(nleqslant10^5)) 个点 (m(mleqslant5 imes10^5)) 条边的有向有正权图，有(k(2leqslant kleqslant n))个关键点。问图中最近的两个关键点的距离。多组数据。
题解： 有两种方法。
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可对(k)个关键点二进制分组，可以知道(x)与(y)不同至少满足二进制上有一位不同，每次按二进制中的一位分成两组，，建一个虚点连向所有的源点，跑 (dijkstra) ，总共跑 (log_2n) 次。复杂度 (O(nlog_2^2n)) 。代码我没写
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令 (F_i) 表示可以走到第(i)个点的最近关键点，(f_i) 为 (dis_{F_i,i}) ， (T_i) 表示第(i)个点可以走到的最近关键点，(t_i) 为 (dis_{i.T_i}) 。
由题解得，枚举一条边 ((u,v,w)) ，若 (F_u ot=T_v) ，那么用 (f_u+w+t_v) 更新答案。这些数组可以在正反图上跑以所有关键点为源点的最短路径得到。接下来证明这样为什么是对的。很显然可以证明，若最短路径为 (x o y) ，其中边 ((u,v,w)) 在这条路径上且 (F_u ot=T_v) ，那么 (F_u=x,T_v=y) （假定最短路径只有一条），则 (f_u+w+t_v=ans) 。也就是只要证明(x o y)的路径上至少有一条边满足(F_u ot=T_v)
采用反证的方法。比如一张图如下，其中(1 o n)为最短路径，方点为关键点，设边权均为(w)
graph LR; A[1] B((2)) C((3)) D((n-1)) E[n] A--A-->B B--B-->C C-.-D D--Z-->E对于边(A)来说，(F_u=1,T_v=n)，要破坏，因为(F_u)无法改变，只能改变(T_v)，可以连一条(2 o 1)的边，边权小于(w)，那么边(A)就无法对答案产生贡献。再考虑边(B)，(F_u=1,T_v=n)，要破坏，有两种方法，一种是连一条(n o 2)的边权小于(w)的边，另一种是连一条(3 o 1)的边权小于(w)的边。由于第一种方案会产生一条(n o 2 o 1)的更短的路径，所以排去，只能用第二种。以此类推，最后会连一条(n o 1)的边导致出现了更短的路径。与原来的假设矛盾。故原命题成立
卡点： 无
C++ Code：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define maxn 100010
#define maxm 500010
int cnt, head[maxn], _head[maxn];
struct Edge {
int to, nxt, w;
} e[maxm], _e[maxm];
inline void addedge(int a, int b, int c) {
e[++cnt] = (Edge) {b, head[a], c}; head[a] = cnt;
_e[cnt] = (Edge) {a, _head[b], c}; _head[b] = cnt;
}
int Tim, n, m, k;
int To[maxn], _To[maxn];
long long dis[maxn], _dis[maxn];
bool mar[maxn];
namespace Graph {
int V[maxn << 2];
long long *Dis;
inline int getmin(int a, int b) { return Dis[a] < Dis[b] ? a : b; }
void modify(int rt, int l, int r, int p, int num) {
if (l == r) {
V[rt] = num;
return ;
}
const int mid = l + r >> 1;
if (p <= mid) modify(rt << 1, l, mid, p, num);
else modify(rt << 1 | 1, mid + 1, r, p, num);
V[rt] = getmin(V[rt << 1], V[rt << 1 | 1]);
}
void dijkstra(int *head, Edge *e, int *To, long long *dis) {
const int SZ = maxn << 3;
memset(dis, 0x3f, SZ);
Dis = dis;
memset(V, 0, sizeof V);
for (int i = 1; i <= n; ++i) To[i] = i;
for (int i = 1; i <= n; ++i) if (mar[i]) {
dis[i] = 0;
modify(1, 1, n, i, i);
}
for (int Tim = n; Tim; --Tim) {
int u = V[1];
modify(1, 1, n, u, 0);
for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to;
if (dis[v] > dis[u] + e[i].w) {
dis[v] = dis[u] + e[i].w;
To[v] = To[u];
modify(1, 1, n, v, v);
}
}
}
}
}
using Graph::dijkstra;
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
std::cin >> Tim;
while (Tim --> 0) {
std::cin >> n >> m >> k;
for (int i = 0, a, b, c; i < m; ++i) {
std::cin >> a >> b >> c;
addedge(a, b, c);
}
memset(mar, false, sizeof mar);
for (int i = 0, x; i < k; ++i) std::cin >> x, mar[x] = true;
dijkstra(_head, _e, To, dis);
dijkstra(head, e, _To, _dis);
long long ans = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
for (int i = 1, u, v; i <= m; ++i) {
u = _e[i].to, v = e[i].to;
if (_To[u] != To[v]) ans = std::min(ans, _dis[u] + e[i].w + dis[v]);
}
std::cout << ans << '
';
if (Tim) {
memset(head, 0, sizeof head);
memset(_head, 0, sizeof _head);
cnt = 0;
}
}
return 0;
}