BZOJ2554 color 【概率DP】【期望DP】

题目分析：

好题。

一开始看错题了，以为是随机选两个球，编号在前的染编号在后的。

但这样仍然能获得一些启发，不难想到可以确定一个颜色，剩下的颜色是什么就无关了。

那么答案就是每种颜色的概率乘以期望。概率很好求。

考虑期望，这里存在一个"黑洞"，也就是f[0]状态无论如何也不可能填满颜色，所以我们要舍弃这个状态，这样往左和往右的转移就不是对半了。

通过求出的概率作比可以发现实际上是i-1:i+1。所以可以列出DP方程

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 10200;
char str[maxn];
double h[maxn],f[maxn],g[maxn]; // f->expectation g->possibility

int cnt[maxn];
double k[maxn],b[maxn];

void work(){
    int ls = strlen(str);
    for(int i=0;i<=ls;i++) g[i] = (double)i/(double)ls;
    for(int i=1;i<ls;i++){
    h[i] = (double)ls*(ls-1)/(double)(2*i*(ls-i));
    }
    k[1] = 1; b[1] = h[1];
    for(int i=2;i<ls;i++){
    b[i] = h[i]; k[i] = (double)(i+1)/(2*i);
    double hh = k[i-1]*((double)(i-1)/(2*i));
    b[i] += b[i-1]*((double)(i-1)/(2*i));
    k[i] /= (1-hh); b[i] /= (1-hh);
    }
    for(int i=ls-1;i>=1;i--){
    f[i] = f[i+1]*k[i]+b[i];
    }
    for(int i=0;i<ls;i++) cnt[str[i]-'A']++;
    double ans = 0;
    for(int i=0;i<26;i++) ans += f[cnt[i]]*g[cnt[i]];
    printf("%.1lf
",ans);
}

int main(){
    scanf("%s",str);
    work();
    return 0;
}