Codeforces1153F Serval and Bonus Problem 【组合数】

题目分析：

我们思考正好被k个区间覆盖的情况，那么当前这个子段是不是把所有的点分成了两个部分，那么在两个部分之间相互连k条线，再对于剩下的分别连线就很好了？这个东西不难用组合数写出来。

然后我们要证明每个区间的期望长度是点数加一分之一，这个很容易，归纳法证明就行了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod = 998244353;

int n,k,l;
int f[10200];
int fac[10200],inv[10200],pw[10200];

int C(int nn,int kk){
    return 1ll*fac[nn]*inv[kk]%mod*inv[nn-kk]%mod;
}
int A(int nn,int kk){
    return 1ll*fac[nn]*inv[nn-kk]%mod;
}

int fast_pow(int now,int pw){
    int ans = 1,dt = now,bit = 1;
    while(bit <= pw){
    if(bit & pw){ans = 1ll*ans*dt%mod;}
    dt = 1ll*dt*dt%mod; bit<<=1;
    }
    return ans;
}

int work(int rm){
    int ll = 0,r = 2*n;int Rp = fast_pow(f[2*n],mod-2);
    int ans = 0;
    while(r>=0){
    int now = C(ll,rm),im = A(r,rm);
    int res = 1ll*now*im%mod*f[ll-rm]%mod*f[r-rm]%mod*pw[rm]%mod;
    res = 1ll*res*Rp%mod;
    ans += res; ans%=mod;
    ll++; r--;
    }
    ans = 1ll*ans*fast_pow(2*n+1,mod-2)%mod*l%mod;
    return ans;
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&l);
    f[0] = 1;fac[0] = 1;pw[0] = 1;
    for(int i=1;i<=2*n;i++) pw[i] = 2*pw[i-1]%mod,fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=2;i<=2*n;i++){
    f[i] = 2ll*f[i-2]%mod*(i-1)%mod;
    }
    inv[2*n] = fast_pow(fac[2*n],mod-2);
    for(int i=2*n-1;i>=0;i--) inv[i] = 1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
    int ans = 0;
    for(int i=k;i<=n;i++) ans += work(i),ans%=mod;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}