LOJ2540 [PKUWC2018] 随机算法 【状压DP】

题目分析：

听说这题考场上能被$ O(4^n) $的暴力水过，难不成出题人是毕姥爷？

首先思考一个显而易见的$ O(n^2*2^n) $的暴力DP。一般的DP都是考虑最近的加入了哪个点，然后删除后递归进行状压DP。由于这道题的题目询问方式是反过来的，处理方式也反过来。

令$ f[n][S] $表示当前有$ S $这些点，期望这些点能够构成独立集大小为$ n $。正向的考虑选择了哪个点，并把与这个点有连边的所有点在集合内进行删除，令找到的新状态为$ f[n-1][P] $。我们把$ P $中的结点与$ S $中不在$ P $中的点进行标号拼接。写成语言就是$ f[n][S]+=f[n-1][P] * inom{|S|-1}{|P|} * |P|! $ 由于对于$ S $的每一个点都需要转移一遍，时间复杂度就变成了$ O(n^2*2^n) $。虽然跑得不快，但是由于冗余状态较多，考场上一定比例的人使用这个算法通过了这个题。

现在来考虑把它优化到$ O(n*2^n) $。由于题目期望着你获得一个最大独立集，所以我们可以发现第一维是没有必要的。因为对于一个目标状态$ S $，我们如果知道$ S $对应的最大独立集的大小的话，那么我们必定是奔着这个大小而去的。现在我们用$ g[S] $来表示$ S $对应的最大独立集大小，那么这是一个普及组题目，枚举选点然后求max就行了。再对于$ f[S] $,求$ S $对应的最大独立集大小。首先记录$ g[S] $，然后找删除某个点后的集合变为了$ g[S]-1 $的就是我们想要的转移方案，同样采用带标号的拼接。因为我们没有了第一维的负担，所以时间复杂度骤降为了$ O(n*2^n) $.

ps：我终于会用letax数学公式啦。

 

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 25;
const int mod = 998244353;

int n,m;
int connect[maxn];
int f[(1<<20)+5],g[(1<<20)+5],sz[(1<<20)+5];
int arr[(1<<20)+5],C[maxn][maxn],fac[25];

int fast_pow(int now,int pw){
    if(pw == 1) return now;
    int z = fast_pow(now,pw/2);
    z = (1ll*z*z) % mod;
    if(pw & 1) z = (1ll*z*now)%mod;
    return z;
}

void read(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
    int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
    connect[u] |= (1<<v-1);
    connect[v] |= (1<<u-1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) connect[i] |= (1<<i-1);
}

void init(){
    C[0][0] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    C[i][0] = C[i][i] = 1;
    for(int j=1;j<i;j++) C[i][j] = (C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    }
    for(int i=1;i<(1<<n);i++){
    for(int j=0;j<n;j++) if((1<<j)&i) sz[i]++;
    }
    fac[0] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i] = (1ll*fac[i-1]*i)%mod;
}

void dfs(int now){
    arr[now] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    if(!((1<<i-1)&now)) continue;
    int p = now - (now&connect[i]);
    if(!arr[p]) dfs(p);
    g[now] = max(g[now],g[p]+1);
    }
}

void dfs2(int now){
    arr[now] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    if(!((1<<i-1)&now)) continue;
    int kk = (now&connect[i]),p = now - kk;
    if(g[p] != g[now]-1) continue;
    if(!arr[p]) dfs2(p);
    f[now]+=((1ll*C[sz[now]-1][sz[p]]*fac[sz[kk]-1])%mod)*f[p]%mod;
    f[now] %= mod;
    }
}

void work(){
    init();
    g[0] = 0; arr[0] = 1; 
    for(int i=1;i<(1<<n);i++) if(!arr[i]) dfs(i);
    memset(arr,0,sizeof(arr));
    f[0] = 1; arr[0] = 1;
    dfs2((1<<n)-1);
    int ans = f[(1<<n)-1];
    ans = (1ll*fast_pow(fac[n],mod-2)*ans)%mod;
    printf("%d",ans);
}
 
int main(){
    read();
    work();
    return 0;
}