UOJ268 [清华集训2016] 数据交互 【动态DP】【堆】【树链剖分】【线段树】

题目分析：

不难发现可以用动态DP做。

题目相当于是要我求一条路径，所有与路径有交的链的代价加入进去，要求代价最大。

我们把链的代价分成两个部分：一部分将代价加入$LCA$之中，用$g$数组保存；另一部分将代价加在整条链上，用$d$数组保存。

这时候我们可以发现，一条从$u$到$v$的路径的代价相当于是$d[LCA(u,v)]+sum_{x in edge(u,v)}g[x]$。

如果是静态的，可以用树形DP解决。

看过《神奇的子图》的同学都知道，叶子结点是从它的儿子中取两个最大的出来，所以堆维护。

考虑合并。

链从左延申出的最大的$g$的总和记录。链从右延申包括$d$的总和记录，每次向上$update$的时候拼起来与原答案比较即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 102000;

int n,m;

vector <int> g[maxn];
int sz[maxn],top[maxn],fa[maxn],dep[maxn],son[maxn],ind[maxn],dr[maxn];
int tail[maxn],num;

struct Query{int from,to,w;}Q[maxn];
struct Priority_Queue{
    priority_queue<ll,vector<ll>,less<ll> > pq,del;
    void push(ll now){pq.push(now);}
    void pop(){
    while(!del.empty() && pq.top() == del.top()) pq.pop(),del.pop();
    pq.pop();
    }
    ll top(){
    while(!del.empty() && pq.top() == del.top()) pq.pop(),del.pop();
    if(pq.empty()) return 0;
    else return pq.top();
    }
    ll sec(){
    while(!del.empty() && pq.top() == del.top()) pq.pop(),del.pop();
    if(pq.size() ==0) return 0;
    ll oop = pq.top(); pq.pop();
    while(!del.empty() && pq.top() == del.top()) pq.pop(),del.pop();
    if(pq.size() == 0){pq.push(oop);return 0;}
    else {ll ret = pq.top();pq.push(oop);return ret;}
    }
    void Erase(ll now){del.push(now);}
}Son[maxn],Ans;

struct segmentTree{
    ll tg,ff,lazy,REC,L,R;
}T[maxn<<2];

void push_down(int now){
    T[now<<1].ff += T[now].lazy; T[now<<1|1].ff += T[now].lazy;
    T[now<<1].REC += T[now].lazy; T[now<<1|1].REC += T[now].lazy;
    T[now<<1].lazy += T[now].lazy; T[now<<1|1].lazy += T[now].lazy;
    T[now<<1].R += T[now].lazy; T[now<<1|1].R += T[now].lazy;
    T[now].lazy = 0;
}

segmentTree merge(segmentTree alpha,segmentTree beta){
    segmentTree RES;RES.lazy = 0;  RES.ff = 0;
    RES.tg = alpha.tg + beta.tg;
    RES.REC = max(alpha.REC,beta.REC);
    RES.REC = max(RES.REC,alpha.R + beta.L);
    RES.L = max(alpha.L,alpha.tg + beta.L);
    RES.R = max(beta.R,alpha.R + beta.tg);
    return RES;
}

void dfs1(int now,int f,int dp){
    dep[now] = dp; fa[now] = f;
    int maxx = 0;
    for(auto it:g[now]){
    if(it == f) continue;
    dfs1(it,now,dp+1);
    sz[now] += sz[it];
    if(maxx == 0 || sz[it] > sz[maxx]) maxx = it;
    }
    son[now] = maxx; sz[now]++;
}

void dfs2(int now,int tp){
    top[now] = tp; ind[now] = ++num; dr[num] = now;
    if(now == tp) Ans.push(0);
    if(son[now]) dfs2(son[now],tp);
    else tail[tp] = now;
    for(auto it : g[now]){
    if(it == fa[now] || it == son[now]) continue;
    dfs2(it,it);
    }
}

void read(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<n;i++){
    int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
    g[u].push_back(v); g[v].push_back(u);
    }
}

int QueryLca(int u,int v){
    while(top[u] != top[v]){
    if(dep[top[u]] > dep[top[v]]) u = fa[top[u]];
    else v = fa[top[v]];
    }
    if(dep[u] < dep[v]) return u; else return v;
}

segmentTree Querylen(int now,int tl,int tr,int l,int r){
    if(tl >= l && tr <= r) return T[now];
    if(T[now].lazy) push_down(now);
    int mid = (tl+tr)/2;
    if(mid < l) return Querylen(now<<1|1,mid+1,tr,l,r);
    if(mid >= r) return Querylen(now<<1,tl,mid,l,r);
    segmentTree pp = Querylen(now<<1|1,mid+1,tr,l,r);
    segmentTree qq = Querylen(now<<1,tl,mid,l,r);
    return merge(qq,pp);
}

void AddG(int now,int tl,int tr,int place,int w){
    if(tl == tr){T[now].tg += w;T[now].L += w;return;}
    if(T[now].lazy) push_down(now);
    int mid = (tl+tr)/2;
    if(mid >= place) AddG(now<<1,tl,mid,place,w);
    else AddG(now<<1|1,mid+1,tr,place,w);
    T[now] = merge(T[now<<1],T[now<<1|1]);
}

void ModifyG(int now,int tl,int tr,int place){
    if(tl == tr){
    tl = dr[tl]; T[now].L = Son[tl].top() + T[now].tg;
    T[now].REC = T[now].ff + Son[tl].top() + Son[tl].sec();
    T[now].R = T[now].ff + Son[tl].top();
    return;
    }
    if(T[now].lazy) push_down(now);
    int mid = (tl+tr)/2;
    if(mid >= place) ModifyG(now<<1,tl,mid,place);
    else ModifyG(now<<1|1,mid+1,tr,place);
    T[now] = merge(T[now<<1],T[now<<1|1]);
}

void ModifyF(int now,int tl,int tr,int l,int r,int w){
    if(tl >= l && tr <= r){
    T[now].lazy += w; T[now].ff += w; T[now].R += w; T[now].REC+=w;
    return;
    }
    if(T[now].lazy) push_down(now);
    int mid = (tl+tr)/2;
    if(mid >= l) ModifyF(now<<1,tl,mid,l,r,w);
    if(mid+1 <= r) ModifyF(now<<1|1,mid+1,tr,l,r,w);
    T[now] = merge(T[now<<1],T[now<<1|1]);
}

void SingleModify(int now,int w){
    int hole = tail[top[now]]; 
    segmentTree fk = Querylen(1,1,n,ind[top[hole]],ind[hole]);
    AddG(1,1,n,ind[now],w); now=fa[top[now]];
    while(now){
    segmentTree rl = Querylen(1,1,n,ind[top[hole]],ind[hole]);
    Ans.Erase(fk.REC); Ans.push(rl.REC);
    Son[now].Erase(fk.L); Son[now].push(rl.L);
    hole = tail[top[now]]; fk = Querylen(1,1,n,ind[top[hole]],ind[hole]);
    ModifyG(1,1,n,ind[now]); now = fa[top[now]];
    }
    Ans.Erase(fk.REC);
    fk = Querylen(1,1,n,ind[top[hole]],ind[hole]);
    Ans.push(fk.REC);
}

void WideModify(int now,int LCA,int w){
    while(dep[now] >= dep[LCA]){
    segmentTree fk = Querylen(1,1,n,ind[top[now]],ind[tail[top[now]]]);
    if(dep[top[now]] < dep[LCA]) ModifyF(1,1,n,ind[LCA],ind[now],w);
    else ModifyF(1,1,n,ind[top[now]],ind[now],w);
    Ans.Erase(fk.REC);
    fk = Querylen(1,1,n,ind[top[now]],ind[tail[top[now]]]);
    Ans.push(fk.REC);
    now = fa[top[now]];
    }
}

void Modify(int u,int v,int w){
    int LCA = QueryLca(u,v);
    SingleModify(LCA,w);
    WideModify(u,LCA,w); // u
    WideModify(v,LCA,w); // v
    WideModify(LCA,LCA,-w); // LCA
}

void build_tree(int now,int tl,int tr){
    if(tl == tr){
    tl = dr[tl];
    for(auto it : g[tl]){
        if(it == son[tl] || it == fa[tl]) continue;
        Son[tl].push(0);
    }
    }else{
    int mid = (tl+tr)/2;
    build_tree(now<<1,tl,mid); build_tree(now<<1|1,mid+1,tr);
    }
}

void work(){
    dfs1(1,0,1);
    dfs2(1,1);
    build_tree(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
    char ch = getchar(); while(ch != '+' && ch != '-') ch = getchar();
    int fr,t,w;
    if(ch == '+'){
        scanf("%d%d%d",&fr,&t,&w);Q[i].from=fr;Q[i].to=t;Q[i].w=w;
    }else{
        int x; scanf("%d",&x);fr = Q[x].from,t = Q[x].to,w = -Q[x].w;  
    }
    Modify(fr,t,w);
    printf("%lld
",Ans.top());
    }
}

int main(){
    read();
    work();
    return 0;
}