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  • 【数论】HAOI2012 容易题

    题目大意

    洛谷链接
    有一个数列A已知对于所有的(A[i])都是(1~n)的自然数,并且知道对于一些(A[i])不能取哪些值,我们定义一个数列的积为该数列所有元素的乘积,要求你求出所有可能的数列的积的和 (mod 1000000007)的值。

    输入格式

    第一行三个整数(n,m,k)分别表示数列元素的取值范围,数列元素个数,以及已知的限制条数。
    接下来(k)行,每行两个正整数(x,y)表示(A[x])的值不能是(y)

    输出格式

    一行一个整数表示所有可能的数列的积的和对(1000000007)取模后的结果。如果一个合法的数列都没有,答案输出(0)

    样例输入

    3 4 5
    1 1
    1 1
    2 2
    2 3
    4 3

    样例输出

    90

    样例解释

    (A[1])不能取(1)
    (A[2])不能取(2、3)
    (A[4])能取(3)
    所以可能的数列有以下(12)
    第一行为数列
    第二行为积
    2 1 1 1
    2
    2 1 1 2
    4
    2 1 2 1
    4
    2 1 2 2
    8
    2 1 3 1
    6
    2 1 3 2
    12
    3 1 1 1
    3
    3 1 1 2
    6
    3 1 2 1
    6
    3 1 2 2
    12
    3 1 3 1
    9
    3 1 3 2
    18

    思路

    从一般到特殊,如果没有不能选的限制,因为每个元素可以把范围内每个数取到,可以得到结果是:
    (( sum_{1le kle n}k)^m)
    然而题目中提到有些元素的有些取值取不到,那么对应的元素的总价值把这些取值都减去再乘进去就可以了。剩下的没有动的元素直接累乘,注意要用到快速幂。

    代码

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int maxn=100000+5;
    const long long mod=1e9+7;
    map<pair<ll,ll>,ll> a;//学lc大佬用的pair...其实用结构体也可
    map<ll,ll> b;
    ll n,m,k,cnt;
    ll vis[maxn];
    
    ll qpow(ll now,ll x){//快速幂的板子
        ll vis=now%mod,res=1;
        while(x){
            if(x&1){
                res*=(vis%mod);
                res%=mod;
            }
            vis*=(vis%mod);
            vis%=mod;
            x>>=1;
        }
        return res;
    }
    
    int main(){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        ll sum=(n+1)*n/2;
    
        for(ll i=1;i<=k;i++){
            ll x,y;
            scanf("%lld%lld",&x,&y);
            if(!b[x])vis[++cnt]=x;
            if(a[make_pair(x,y)])continue;//样例给出了重复限制,所以记一下
            a[make_pair(x,y)]=1;
            b[x]+=y;//记录限制的总和
        }
    
        ll ans=1;
        for(ll i=1;i<=cnt;i++){
            ans*=(sum-b[vis[i]])%mod;
    	    ans%=mod;
        }
    
        printf("%lld
    ",((ans%mod)*qpow(sum,m-cnt)%mod)%mod);
        return 0;
    }
    
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