向量点乘
向量点乘又称为内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。
公式
对于向量$vec a = [a_1, a_2, dots, a_n]$和向量$vec b = [b_1, b_2, dots, b_n]$，有
几何意义
源于物理牛顿力学的做功问题。点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及向量$vec b$在向量$vec a$方向上的投影，有公式：
向量$vec a$，$vec b$的长度都是可以计算的已知量，从而有$vec a$和$vec b$间的夹角$ heta$：
根据这个公式就可以计算向量$vec a$和向量$vec b$之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：
- $vec a cdot vec b > 0$ 方向基本相同，夹角在0°到90°之间
- $vec a cdot vec b = 0$ 正交，相互垂直
- $vec a cdot vec b < 0$ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间
向量叉乘
叉乘又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
公式
对于向量$vec a = (x_1, y_1, z_1)$和向量$vec b = (x_2, y_2, z_2)$，有
其中，
所以又有
几何意义
源于物理牛顿力学的力矩问题。在三维几何中，向量$vec a$和向量$vec b$的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于$vec a$和$vec b$向量构成的平面。
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于$vec a$，$vec b$的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
该法向量方向符合右手螺旋定则，模$|vec a imes vec b| = |vec a||vec b|sin heta$。
在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：$vec a imes vec b$等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
参考资料：
https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832