牛客暑假多校 H Prefix sum

题意：

现在有一个2维矩阵， 初始化为0。 并且这个矩阵是及时更新的。 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];

现在有2种操作：

0 x y   dp[1][x] += y

1 x  查询dp[k][x]的值。

题解：

神奇的分块算法。

首先我们可以发现 如果在一个 x 的位置加上了值 y 那么 在 x' 的位置加上的值是 从 （1， x） 走到 （k，x')的方案数* y， 只能向下向右移动。

现在我们有2种最暴力的做法：

1 每次更新都暴力更新整个矩阵  然后o1得到结果

2 每次都把添加的数存一下 然后询问的时候通过组合数去找到答案。

这两种做法复杂度都很爆炸。

但是 如果把这2种做法结合一下， 每次都把添加的值存起来，然后询问的时候通过组合数去找答案， 然后当存了的数大于一定的数目的时候再暴力更新整个矩阵。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Fopen freopen("_in.txt","r",stdin); freopen("_out.txt","w",stdout);
#define LL long long
#define ULL unsigned LL
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define lch tr[x].son[0]
#define rch tr[x].son[1]
#define max3(a,b,c) max(a,max(b,c))
#define min3(a,b,c) min(a,min(b,c))
typedef pair<int,int> pll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const LL mod =  (int)1e9+7;
const int N = 1e5 + 100;
int F[N], Finv[N], inv[N];/// F是阶层 Finv是逆元的阶层
void init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i++)
        inv[i] = (mod - mod/i) * 1ll * inv[mod % i] % mod;
    F[0] = Finv[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i++){
        F[i] = F[i-1] * 1ll * i % mod;
        Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % mod;
    }
}
int comb(int n, int m){ /// C(n,m)
    if(m < 0 || m > n) return 0;
    return F[n] * 1ll * Finv[n-m] % mod * Finv[m] % mod;
}
int n, m, k, op, x, y;
int dp[55][N];
int add[N];
vector<pll>  vc;
int query(int x){
    int ret = dp[k][x];
    for(int i = 0; i < vc.size(); i++){
        if(vc[i].fi > x) continue;
        ret = (ret + 1ll * vc[i].se * comb(k-1+x-vc[i].fi,k-1)) % mod;
    }
    return ret;
}
void build(){
    //memset(add, 0, sizeof(add))
    //add[1] += dp[1][1];
    for(int i = 0; i < vc.size(); i++){
        x = vc[i].fi, y = vc[i].se;
        add[x] = (add[x] + y) % mod;
    }
    vc.clear();
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        dp[1][i] = (dp[1][i-1] + add[i]) % mod;
        //add[i] = 0;
    }
    for(int i = 2; i <= k; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            dp[i][j] = (dp[i-1][j] + dp[i][j-1]) % mod;
}
int main(){
    init();
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    while(m--){
        scanf("%d", &op);
        if(op){
            scanf("%d", &x);
            printf("%d
",query(x));
        }
        else{
            scanf("%d%d", &x, &y);
            vc.pb(pll(x,y));
            if(vc.size() == 2000)
                build();
        }
    }
    return 0;
}