bzoj2554: Color

Description

有n个球排成一列，每个球都有一个颜色，用A-Z的大写字母来表示，我们每次随机选出两个球ball1,ball2,使得后者染上前者的颜色，求期望操作多少次，才能使得所有球的颜色都一样？

Solution

挺不错的题！

其实n可以开到1e7

%%lrd真心好题解

思想：

1.26个太多，2个好做。

2.转化成2个？钦定哪一个最后成为最终颜色！这个是白色，剩下都是黑色。

发现问题：

问题1：不一定什么时候都能染成

概率：i/n

问题2：不能之前的f[i]剩下i个白球到全部是同样的颜色。必须都是白色并且都是黑色也不一定都是同样颜色的。

所以f[i]有i个白球，染成都是白色的期望步数

问题3：f[0]怎么定义？正无穷？

其实是条件概率，也就是，对于所有情况（S种），我们把所有最终变成char这种字母的情况拿出来（K种），统计每一个方案的步数，乘上概率(1/K)

再乘上：K/S，这里就是cnt[char]/n

所以其实，f[i]有一个条件，只统计能到达想要的全白状态下的期望步数

所以转移只用考虑“占比”（也就是占x/K），显然(i+1)的概率高，(i-1)的概率低，所以占比就是i+1:i-1

其实本质是条件概率再套条件概率

然后转移方程就列出来了，变成kx+b的形式

至于每次的恒定的g[i]，就理解为动一下。动到哪里不关心

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define reg register int
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=10000+5;
double g[N],f[N],k[N],b[N];
int cnt[30];
int n;
char s[N];
int main(){
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    for(reg i=1;i<=n;++i) ++cnt[s[i]-'A'];
    for(reg i=1;i<=n;++i) g[i]=(double)n*(n-1)/(i*(n-i))/2.0;
    for(reg i=n-1;i>=1;--i){
        k[i]=(i-1)/(2*i-(i+1)*k[i+1]);
        b[i]=((i+1)*b[i+1]+(2*i*g[i]))/(2*i-(i+1)*k[i+1]);
    }
    f[1]=b[1];
//  cout<<f[1]<<endl;
    for(reg i=2;i<=n;++i){
        f[i]=k[i]*f[i-1]+b[i];
    //  cout<<f[i]<<endl;
    }
    double ans=0;
    for(reg i=0;i<26;++i){
        ans+=(double)cnt[i]/n*f[cnt[i]];
        //cout<<cnt[i]<<" "<<f[cnt[i]]<<" "<<ans<<endl;
    }
    printf("%.1lf",ans);
    return 0;
}
 
}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}
 
/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2019/3/11 22:53:25
*/

 算是条件概率的基础应用吧

在条件概率下，只要扣一个条件的概率的帽子，剩下的就是全局的了。

这样我们钦定哪一个成为最终颜色，计算就不重不漏了。