[APIO2013]道路费用

[APIO2013]道路费用 

给一些边确定权值，再找MST，还要最大化，很麻烦

不妨枚举k中一个子集最终会在MST上，此基础上最大化每个边的权值（显然这样最优）

暴力：

2^k枚举S，把S中的边都先加进去。原图所有的边跑kruskal，得到MST

再对于没有在MST上的边，对(x,y)链上的S中的边有权值限制<=w，链上权值对w取min

O(2^k*(mlogm+mk^2))

正解：

k<=20，每次跑一边全局的MST太不值得了。

假设Wki=-inf，即把S=全集都加进去，原图所有边跑kruskal，这个时候在MST上的边，一定无论如何都会在MST上了

不经过这k条边，可以缩点！

K+1个连通块编号为1~K+1

这样每次check变成了O(k^3)因为有k^2条原图的边

显然，这k^2条边不是必须的

Wki=inf，即直接用这些边跑MST，如果不在MST上的，无论如何都不会在了。并且不会影响S的边的min

所以，边、点剩下k个

O(mlogm+2*k*k^2)

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^'0')
#define pb push_back
#define solid const auto &
#define enter cout<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('
');}

namespace Miracle{
const int N=1e5+5;
const int M=3e5+5;
const int K=30;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,k;
ll ans;
struct node{
    int x,y,w;
    bool friend operator <(node a,node b){
        return a.w<b.w;        
    }
}E[M],t[K],mao[K];
struct edge{
    int nxt,to;
    int z;
}e[2*N];
int hd[N],cnt;
void add(int x,int y,int z){
    e[++cnt].nxt=hd[x];
    e[cnt].to=y;e[cnt].z=z;
    hd[x]=cnt;
}
int be[N];
int num;
int tc;

int gf[N];
int fin(int x){
    return gf[x]==x?x:gf[x]=fin(gf[x]);
}
int has[N],tot;
int fa[N];
int dep[N];
ll sum[K],val[K],wei[N];
int big[K];
int on[K];
void dp(int x,int d){
    dep[x]=d;
    sum[x]=val[x];
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(y==fa[x]) continue;
        fa[y]=x;
        dp(y,d+1);
        sum[x]+=sum[y];
    }
}
ll che(){
    if(tot==0) return 0;
    for(reg i=1;i<=num;++i){
        gf[i]=i;
        hd[i]=0;
        big[i]=inf;
    }
    cnt=0;
    for(reg p=1;p<=tot;++p){
        int i=has[p];
        int x=mao[i].x,y=mao[i].y;
        int k1=fin(x),k2=fin(y);
        if(k1!=k2){
            gf[k1]=k2;
            add(x,y,0);add(y,x,0);
        }
    }
    for(reg i=1;i<=tc;++i){
        on[i]=0;
        int x=t[i].x,y=t[i].y;
        int k1=fin(x),k2=fin(y);
        if(k1!=k2){
            gf[k1]=k2;
            on[i]=1;
            add(x,y,0);add(y,x,0);
        }
    }
    fa[1]=0;dep[1]=0;
    dp(1,1);
    for(reg i=1;i<=tc;++i){
        if(!on[i]){
            int x=t[i].x,y=t[i].y;
            if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
            while(dep[x]>dep[y]) big[x]=min(big[x],t[i].w),x=fa[x];
            while(x!=y){
                big[x]=min(big[x],t[i].w);
                big[y]=min(big[y],t[i].w);
                x=fa[x],y=fa[y];
            }
        }
    }
    ll ret=0;
    for(reg p=1;p<=tot;++p){
        int i=has[p];
        int x=mao[i].x,y=mao[i].y;
        if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
        ret+=(ll)big[x]*sum[x];
    }
    return ret;
}
void dfs(int x){
    if(x==k+1){
        ans=max(ans,che());
        return;
    }
    dfs(x+1);
    has[++tot]=x;
    dfs(x+1);
    has[tot--]=0;
}

void tarjan(int x){
    be[x]=num;
    val[num]+=wei[x];
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(be[y]||e[i].z) continue;
        tarjan(y);
    }
}
int main(){
    rd(n);rd(m);rd(k);
    for(reg i=1;i<=m;++i){
        rd(E[i].x);rd(E[i].y);rd(E[i].w);
    }
    for(reg i=1;i<=k;++i){
        rd(mao[i].x);rd(mao[i].y);
    }
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        rd(wei[i]);
    }
    sort(E+1,E+m+1);
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        gf[i]=i;
    }
    for(reg i=1;i<=k;++i){
        int x=mao[i].x,y=mao[i].y;
        int k1=fin(x),k2=fin(y);
        if(k1!=k2){
            gf[k1]=k2;
            add(x,y,1);add(y,x,1);
        }
    }

    for(reg i=1;i<=m;++i){
        int x=E[i].x,y=E[i].y;
        int k1=fin(x),k2=fin(y);
        if(k1!=k2){
            gf[k1]=k2;
            add(x,y,0);add(y,x,0);
        }
    }
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        if(!be[i]){
            ++num;
            tarjan(i);
        }
    }
    memset(gf,0,sizeof gf);
    for(reg i=1;i<=num;++i){
        gf[i]=i;
    }
    for(reg i=1;i<=m;++i){
        int x=E[i].x,y=E[i].y;
        if(be[x]!=be[y]){
            x=be[x];y=be[y];
            int k1=fin(x),k2=fin(y);
            if(k1!=k2){
                gf[k1]=k2;
                ++tc;
                t[tc].x=x;t[tc].y=y;
                t[tc].w=E[i].w;
            }
        }
    }
    for(reg i=1;i<=k;++i){
        mao[i].x=be[mao[i].x];
        mao[i].y=be[mao[i].y];
    }
    memset(hd,0,sizeof hd);
    cnt=0;
    dfs(1);
    ot(ans);
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
*/

k很小，考虑暴力枚举，这样有了方向

每次MST太亏，考虑化简点、边

化简边数，找必须边和不可能边类似：[HNOI2010]城市建设