CF1086F Forest Fires

CF1086F Forest Fires

有点意思的题目

直接统计每个格子的val是非常难办的。很难知道每秒新出来多少个格子

设$F[i]$表示，前i时刻覆盖的格子的数量

则，$ans=sum_{i=1}^T i*(F[i]-F[i-1])=T*F[T]-sum_{i=0}^{T-1} F[i]$

考虑$sum_{i=0}^{T-1} F[i]$怎么求

$F[i]$可以是矩形面积并，但是不能暴力求，T太大

一起求？

麻烦的事情自然是两个点代表的正方形在某个时刻相交了

考虑相交之后的面积并的式子，是一个容斥的式子，涉及的都是矩形面积的加减，

所以是一个关于T的二次函数！

而一共有$N^2$次相交

所以F图像是分段二次函数！！

对于每一段，可以3次插值求出表达式，然后求和。

每次插值就是一次矩形面积并了。

O(n^3logn)

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^'0')
#define pb push_back
#define solid const auto &
#define enter cout<<endl
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x);}
template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('
');}
namespace Modulo{
const int mod=998244353;
int ad(int x,int y){return (x+y)>=mod?x+y-mod:x+y;}
void inc(int &x,int y){x=ad(x,y);}
int mul(int x,int y){return (ll)x*y%mod;}
int sub(int x,int y){return ad(x,mod-y);}
void inc2(int &x,int y){x=mul(x,y);}
int qm(int x,int y=mod-2){int ret=1;while(y){if(y&1) ret=mul(x,ret);x=mul(x,x);y>>=1;}return ret;}
template<class ...Args>il int ad(const int a,const int b,const Args &...args) {return ad(ad(a,b),args...);}
template<class ...Args>il int mul(const int a,const int b,const Args &...args) {return mul(mul(a,b),args...);}
}
using namespace Modulo;
namespace Miracle{
const int N=505;
int n,T;
int X[N],Y[N];

int tmp[N];
int z[N];
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
struct node{
    int ct,val;
    int sum;
}t[4*N];
void pushup(int x){
    if(t[x].ct) t[x].sum=t[x].val;
    else t[x].sum=t[x<<1].sum+t[x<<1|1].sum;
}
void build(int x,int l,int r){
    if(l==r){
        t[x].ct=0;t[x].sum=0;
        t[x].val=z[l]-z[l-1];
        // cout<<" val "<<l<<" "<<r<<" : "<<t[x].val<<endl;
        return;
    }
    t[x].ct=0;t[x].sum=0;
    t[x].val=z[r]-z[l-1];
    build(ls,l,mid);
    build(rs,mid+1,r);
}
void upda(int x,int l,int r,int L,int R,int c){
    if(L<=l&&r<=R){
        t[x].ct+=c;pushup(x);
        return;
    }
    if(L<=mid) upda(ls,l,mid,L,R,c);
    if(mid<R) upda(rs,mid+1,r,L,R,c);
    pushup(x);
}
struct qs{
    int p,c;
    int u,d;
    qs(){}
    qs(int pp,int cc,int dd,int uu){
        p=pp;c=cc;d=dd;u=uu;
    }
    bool friend operator <(qs a,qs b){
        return a.p<b.p;
    }
}h[N];
ll calc(int tim){
    // cout<<" calc *******"<<tim<<endl;
    int ch=0,cl=0,cz=0;
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        h[++ch]=qs(X[i]-tim,1,Y[i]-tim,Y[i]+tim);
        h[++ch]=qs(X[i]+tim+1,-1,Y[i]-tim,Y[i]+tim);
        tmp[++cl]=Y[i]+tim;
        tmp[++cl]=Y[i]-tim;
    }
    sort(h+1,h+ch+1);
    sort(tmp+1,tmp+cl+1);
    cl=unique(tmp+1,tmp+cl+1)-tmp-1;
    z[0]=tmp[1]-1;
    for(reg i=1;i<=cl;++i){
        z[++cz]=tmp[i];
        if(i!=cl&&tmp[i+1]!=tmp[i]+1){
            z[++cz]=tmp[i+1]-1;
        }
    }
    // cout<<" zz "<<endl;
    // prt(z,1,cz);

    build(1,1,cz);
    ll ret=0;
    for(reg i=1;i<=ch;++i){
        if(i!=1){
            ret+=(ll)t[1].sum*(h[i].p-h[i-1].p);
        }
        h[i].u=lower_bound(z+1,z+cz+1,h[i].u)-z;
        h[i].d=lower_bound(z+1,z+cz+1,h[i].d)-z;
        // cout<<" u "<<h[i].u<<" d "<<h[i].d<<endl;
        upda(1,1,cz,h[i].d,h[i].u,h[i].c);
        // cout<<"after "<<i<<" sum "<<t[1].sum<<endl;
    }
    // cout<<"RETETETE "<<ret<<endl;
    return ret%mod;//warning!!! % mod
}
int nr[55*55],num;
ll px[5],py[5];
int ping(int n){
    return mul(n,n+1,2*n+1,qm(6));
}
int main(){
    rd(n);rd(T);
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        rd(X[i]);rd(Y[i]);
    }
    nr[++num]=0;
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        for(reg j=i+1;j<=n;++j){
            int yu=max((abs(X[i]-X[j])+1)/2,(abs(Y[i]-Y[j])+1)/2);
            nr[++num]=yu;
        }
    }
    nr[++num]=T;
    sort(nr+1,nr+num+1);
    num=unique(nr+1,nr+num+1)-nr-1;

    int ans=mul(T,calc(T));
    // cout<<" ans "<<ans<<endl;
    for(reg i=1;i<=num;++i){
        if(nr[i]==T) break;
        int tot=0;
        int ti=nr[i];
        while(ti-nr[i]<3&&ti!=nr[i+1]){
            px[++tot]=ti;
            py[tot]=calc(ti);
            ++ti;
        }
        // cout<<"tot----------- "<<tot<<endl;
        // prt(py,1,tot);
        if(tot<=2){
            for(reg j=1;j<=tot;++j){
                inc(ans,mod-py[j]);
            }
        }else{
            // cout<<" TriTri ";
            int A=0,B=0,C=0;
            for(reg j=1;j<=tot;++j){
                int lp=py[j];
                int ss=0,sc=1;
                for(reg k=1;k<=tot;++k){
                    if(k==j) continue;
                    lp=mul(lp,qm(ad(px[j],mod-px[k])));
                    inc(ss,px[k]);
                    inc2(sc,px[k]);
                }
                A=ad(A,lp);
                B=ad(B,mod-mul(lp,ss));
                C=ad(C,mul(lp,sc));
            }
            int st=nr[i],nd=nr[i+1]-1;
            inc(ans,mod-ad(mul(A,sub(ping(nd),ping(st-1))),mul(B,(nd-st+1),(nd+st),qm(2)),mul(C,(nd-st+1))));
        }
    }   
    ot(ans);
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
*/

i*cnt，i每次+1，很套路

题意转化为求$sum_{i=0}^{T-1} F[i]$

发现，$F[i]$是一个分段二次函数，然后插值！