参照yjc方法。也就是地铁环线那个题。
求每个点不在负环内的x的取值范围。然后所有1到j能到i的j的范围取交。得到答案。
每个边形如kx+b的直线，每个环也是
每个点不在负环内的x取值范围是区间，
两次二分，
第一次二分区间左端点，第二次右端点。
如果没有负环，左端点往左偏，右端点往右偏
否则，记录负环的构成：k*mid+b的k的正负，可以得到mid应该往哪里偏。
注意SPFA找负环：
记录has[x]表示到x的最短路已经经过了多少个点，
dis[x]最短路，fr[x]是最短路的前驱，pre[x]是最短路前驱指向x的边
发现has[x]>n的时候，证明出现了负环。但是x不一定在负环上！
不断跳fr[x]找到整个环重复的第一个点z。
再fr[z]找到整个环。
emmm，一个问题是，负环上的点不会被其他点松弛导致fr[*]找不到负环吗？
由于SPFA的BFS性质，以及has[x]>n才会判断出有负环，
所以整个负环上的点，在判断has[*]>n之前，要么不会被松弛、或者松弛后要么找到新的负环、要么会被这个负环再次松弛，
总之这个环确实能找出来。
代码：
目前（2019.6.17）UOJ最优解
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^'0')
#define pb push_back
#define solid const auto &
#define enter cout<<endl
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x);}
template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('
');}
namespace Modulo{
const int mod=998244353;
il int ad(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
il int sub(int x,int y){return ad(x,mod-y);}
il int mul(int x,int y){return (ll)x*y%mod;}
il void inc(int &x,int y){x=ad(x,y);}
il void inc2(int &x,int y){x=mul(x,y);}
il int qm(int x,int y=mod-2){int ret=1;while(y){if(y&1) ret=mul(x,ret);x=mul(x,x);y>>=1;}return ret;}
template<class ...Args>il int ad(const int a,const int b,const Args &...args) {return ad(ad(a,b),args...);}
template<class ...Args>il int mul(const int a,const int b,const Args &...args) {return mul(mul(a,b),args...);}
}
// using namespace Modulo;
namespace Miracle{
const int N=105;
const int M=10005;
const ll inf=1e14;
int n,m;
struct edge{
int x,y,k,b;
}b[M];
struct node{
int nxt,to;
int k,b;
ll val(ll x){
return k*x+b;
}
}e[2*M];
int hd[N],cnt;
void add(int x,int y,int k,int b){
e[++cnt].nxt=hd[x];
e[cnt].to=y;
e[cnt].k=k;e[cnt].b=b;
hd[x]=cnt;
}
int c[N],df,dfn[N],low[N];
int scc;
int f[N][N];
int sta[N],top,in[N];
int sz[N];
void tarjan(int x){
dfn[x]=low[x]=++df;
sta[++top]=x;in[x]=1;
for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
if(!dfn[y]){
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}else if(in[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
if(low[x]==dfn[x]){
++scc;
int z;
do{
z=sta[top--];
in[z]=0;
c[z]=scc;
++sz[scc];
}while(z!=x);
}
}
struct seg{
ll l,r;
seg(){l=-inf,r=inf;}
seg(ll le,ll ri){
l=le;r=ri;
}
bool empty(){
return l>r;
}
bool full(){
return (l==-inf)&&(r==inf);
}
seg friend operator &(seg a,seg b){
return seg(max(a.l,b.l),min(a.r,b.r));
}
seg friend operator |(seg a,seg b){
if(a.empty()) return b;
if(b.empty()) return a;
return seg(min(a.l,b.l),max(a.r,b.r));
}
}lim[N];
ll dis[N];
int pre[N];
int fr[N];
int has[N];
queue<int>q;
bool vis[N];
int spfa(int s,ll mid,int n){
//-1 need small; 1: need big ;0 ok
while(!q.empty()) q.pop();
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
memset(vis,0,sizeof vis);
// memset(pre,0,sizeof pre);
// memset(has,0,sizeof has);
dis[s]=0;has[s]=1;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
// cout<<" xx "<<x<<endl;
vis[x]=0;
for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
if(dis[y]>dis[x]+e[i].val(mid)){
dis[y]=dis[x]+e[i].val(mid);
pre[y]=i;
fr[y]=x;
has[y]=has[x]+1;
if(has[y]>n){//has fuhuan
// cout<<" fuhuan !!!"<<endl;
int z=y;
int k=0;
memset(vis,0,sizeof vis);
do{
// cout<<" zz "<<z<<endl;
// k+=e[pre[z]].k;
vis[z]=1;
z=fr[z];
}while(!vis[z]);
int lp=z;
do{
k+=e[pre[z]].k;
z=fr[z];
}while(z!=lp);
if(k<0){
return -1;
}else{
return 1;
}
}
if(!vis[y]){
vis[y]=1;
q.push(y);
}
}
}
}
return 0;
}
void calc(int s,int id){
// cout<<" calc "<<id<<" s "<<s<<endl;
ll al=inf+1;
ll L=-inf,R=inf;
while(L<=R){
ll mid=(L+R)>>1;
// cout<<L<<" "<<R<<" : "<<mid<<endl;
int lp=spfa(s,mid,sz[id]);
if(lp==-1){
R=mid-1;
}else if(lp==1){
L=mid+1;
}else{
al=mid;
R=mid-1;
}
}
// cout<<" al "<<al<<endl;
ll ar=-inf-1;
L=-inf,R=inf;
while(L<=R){
ll mid=(L+R)>>1;
int lp=spfa(s,mid,sz[id]);
if(lp==-1){
R=mid-1;
}else if(lp==1){
L=mid+1;
}else{
ar=mid;
L=mid+1;
}
}
// cout<<" ar "<<ar<<endl;
lim[id]=seg(al,ar);
}
int main(){
rd(n);rd(m);
for(reg i=1;i<=m;++i){
rd(b[i].x);rd(b[i].y);rd(b[i].b);rd(b[i].k);
add(b[i].x,b[i].y,233,233);
// f[b[i].x][b[i].y]=1;
}
for(reg i=1;i<=n;++i){
if(!dfn[i]){
tarjan(i);
}
}
// cout<<" after tarjan "<<endl;
for(reg i=1;i<=scc;++i){
int s=0;
memset(hd,0,sizeof hd);
cnt=0;
for(reg j=1;j<=m;++j){
if(c[b[j].x]==i&&c[b[j].y]==i){
s=b[j].x;
add(b[j].x,b[j].y,b[j].k,b[j].b);
}
}
if(s) calc(s,i);
}
for(reg i=1;i<=scc;++i) f[i][i]=1;
for(reg i=1;i<=m;++i){
f[c[b[i].x]][c[b[i].y]]=1;
}
for(reg k=1;k<=scc;++k){
for(reg i=1;i<=scc;++i){
for(reg j=1;j<=scc;++j){
f[i][j]|=(f[i][k])&(f[k][j]);
}
}
}
for(reg i=1;i<=n;++i){
seg ans;
for(reg j=1;j<=scc;++j){
if(f[c[1]][j]&&f[j][c[i]]){
ans=ans&lim[j];
}
}
if(ans.empty()){
puts("0");
}
else if(ans.l==-inf||ans.r==inf){
puts("-1");
}else{
printf("%lld
",ans.r-ans.l+1);
}
}
return 0;
}
}
signed main(){
Miracle::main();
return 0;
}
/*
Author: *Miracle*
*/
普通二分+判负环
因为整个值域都有单调性。知道不合法往哪里走。
区间二分？+找负环
二分左端点，二分右端点。
麻烦的是，第一次不合法，该往哪里走？（显然之后不合法其实是知道往哪里走的）
因为并没有单调性。
本题提供的思路是，考虑不合法的构成，来限制往哪里走才可能合法。
也就是额外记录一些东西
（好像这个套路暂时只出现于k*mid+b的k正负判断？）
upda：2019.6.21
官方题解：
利用Bellman-ford的思想进行判断负环。
简介Bellman-ford的方法：
不断枚举边数，用所有的边更新点的dis。
设f[i][j]走了i条边，到达j点，最短路
如果存在负环，则一定存在一个负环上的点u，使得f[u][n]<f[u][n-1]
扩展一下
f[i][j][k]表示，走了i条边，到达j点，斜率是k的最小的b值。
找到每个点不在负环的x的取值范围。
min(f[u][n][k1]+k1*x)>=min(f[u][n-1][k2]+k2*x)的x的个数。
枚举每个k1,求f[u][n][k1]+k1*x>=min(f[u][n-1][k2]+k2*x)的x区间，再求并。
转化为：求f[u][n][k1]+k1*x<min(f[u][n-1][k2]+k2*x)的x区间，求并，再求补集。
再枚举k2，解出的所有不等式f[u][n][k1]+k1*x<f[u][n-1][k2]+k2*x求交。
由于最后答案补集一定是[-inf,l],[l,r],[r,inf]，空集，的一种。所以过程中求交求并不会有奇怪情况。
求并的时候sort一下就好了。
然后floyd，从1到u到x的u的区间求交。
虽然不是所有的负环上的点都会考虑到，但是每个负环上至少有一个点可以得到限制，使得没有负环。
最后是求交，所以不影响正确性。