树链剖分——树形到线性的转化

树链剖分：

树上操作并不能实现一段链的直接更新。

树链剖分就解决了这个问题。

本质上是树形到线性的转化。

通过子树，重链是一个连续的dfn区间的优秀性质，可以在dfn序列上进行操作，达到在树上操作的目的。

通常和线段树结合。

板子：以前写的。

树链剖分

例题：

1.遥远的国度

题目大意：
　　给定一棵有根树，每个点有一个权值，提供三种操作：
　　1.将x节点变为根节点
　　2.将x到y路径上的点的权值全部改为v
　　3.询问x的子树中点权的最小值

如果根不变，那么2、3就直接做了。

但是根变化了，随之第三问，子树就变化了。

每次重建dfn序列显然是爆炸的。

所以，就考虑让树形态根一直保持原来的不变。

每次第三问，就考虑当前的新的根对这个点子树的影响。

讨论一下：

分成三种情况 

1.new root = xx 整个子树的min就是ans 

2. lca(new root,xx) !=xx 没有影响，直接求。

 3. lca(new root,xx) =xx 找一下root在xx的哪个子树里 这个子树的补集就是解了
注意是补集，因为树的父子关系完全颠倒了。但是只有这个子树成立，别的子树还是xx的子树。（画图理解下）

代码：（luoguAC，bzoj WA ????!!??!!??!）(对拍也没找到错)
注意，树剖lca，最后要考虑swap(x,y),返回浅的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000+10;
typedef long long ll;
const ll inf=(ll)21474836480;
int n,m;
int root;
int nrt;
vector<int>er[N];
struct node{
    int nxt,to;
}e[N*2];
int hd[N],cnt;
void add(int x,int y){
    e[++cnt].nxt=hd[x];
    e[cnt].to=y;
    hd[x]=cnt;
}
int w[N];
int top[N],son[N],siz[N],dfn[N],dfn2[N],fdfn[N],fa[N];
int dep[N];
int tot;//number of dfn
void dfs1(int x,int d){
    siz[x]=1;
    dep[x]=d;
    for(int i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(y!=fa[x]){
            fa[y]=x;
            
            dfs1(y,d+1);
            if(siz[y]>siz[son[x]]){
                son[x]=y;
            }
            siz[x]+=siz[y];
        }
    }
}
void dfs2(int x){
    dfn[x]=++tot;
    fdfn[tot]=x;
    if(!top[x]) top[x]=x;
    if(son[x]) er[x].push_back(son[x]),top[son[x]]=top[x],dfs2(son[x]);
    for(int i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(y!=fa[x]&&y!=son[x]){
            er[x].push_back(y);
            dfs2(y);
        }
    }
    dfn2[x]=tot;
}

struct tr{
    ll mi,ch;
    #define m(x) t[x].mi
    #define c(x) t[x].ch
    #define ls (x<<1)
    #define rs (x<<1|1)
    #define mid (l+r>>1)
}t[4*N];
void pushup(int x){
    m(x)=min(m(ls),m(rs));
}
void pushdown(int x){
    if(c(x)==-1) return;
    c(ls)=c(x);m(ls)=c(x);
    c(rs)=c(x);m(rs)=c(x);
    c(x)=-1;
}
void build(int x,int l,int r){
    if(l==r){
        m(x)=w[fdfn[l]];c(x)=-1;
        return;
    }
    m(x)=inf;c(x)=-1;
    build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
    pushup(x);
}
void chan(int x,int l,int r,int L,int R,ll k){
    if(L<=l&&r<=R){
        c(x)=k;m(x)=k;return;
    }
    pushdown(x);
    if(L<=mid) chan(ls,l,mid,L,R,k);
    if(mid<R) chan(rs,mid+1,r,L,R,k);
    pushup(x);
}
ll query(int x,int l,int r,int L,int R){
    if(L>R) return inf;
    if(L<=l&&r<=R){
        return m(x);
    }
    pushdown(x);ll ret=inf;
    if(L<=mid) ret=min(ret,query(ls,l,mid,L,R));
    if(mid<R) ret=min(ret,query(rs,mid+1,r,L,R));
    return ret;
}
int lca(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    return x;
}
void wrk1(int x,int y,ll z){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        chan(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],z);
        x=fa[top[x]];
    }    
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    chan(1,1,n,dfn[y],dfn[x],z);
}
ll wrk2(int x){
    if(x==nrt){
        return query(1,1,n,1,n);
    }
    int anc=lca(x,nrt);
    if(anc==x){
        int ll=0,rr=er[x].size()-1;
        int in;
        while(ll<=rr){
            int mm=(ll+rr)>>1;
            int ss=er[x][mm];
            if(dfn[ss]<=dfn[nrt]&&dfn[nrt]<=dfn2[ss]){
                in=ss;break;
            }
            else if(dfn[nrt]<dfn[ss]) rr=mm-1;
            else ll=mm+1;
        }
        return min(query(1,1,n,1,dfn[in]-1),query(1,1,n,dfn2[in]+1,n));
    }
    else return query(1,1,n,dfn[x],dfn2[x]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);int x,y;
    for(int i=1;i<=n-1;i++) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
    scanf("%d",&root);
    nrt=root;
    dfs1(root,1);
    dfs2(root);
    build(1,1,n);
    int op;
    ll z;
    while(m--){
        scanf("%d",&op);
        if(op==1){
            scanf("%d",&nrt);
        }
        else if(op==2){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            wrk1(x,y,z);
        }
        else if(op==3){
            scanf("%d",&x);
            printf("%lld
",wrk2(x));
        }
    }
    return 0;
}

2.

[LNOI2014]LCA

题意：
给出一个n个节点的有根树（编号为0到n-1，根节点为0）。

一个点的深度定义为这个节点到根的距离+1。

设dep[i]表示点i的深度，LCA(i,j)表示i与j的最近公共祖先。

有q次询问，每次询问给出l r z，求sigma_{l<=i<=r}dep[LCA(i,z)]。（即，求在[l,r]区间内的每个节点i与z的最近公共祖先的深度之和）

题解：

很巧妙的方法。

直接暴力肯定tle

对于z，可以暴力往上打标记，一直到根，对于[l,r]的数，分别往上找到的第一个标记点就是lca。

发现，lca的深度就是到根的点数。所以，如果把从z到根的路径上的点权++，那么，l,r中的i和z的lca的深度，就是i到根节点的路径上的点权和。

发现，这个结论是可逆的。就是说，如果把所有i到根节点的路径++，那么，z到根节点的路径上的值，就是这次查询的结果！！！

这样子复杂度并没有降下来。

我们转化成差分:对于一个询问，分成:[1,r] - [1,l-1]两个部分求解。

而，我们再用一个离线操作，就是把每个1~n的数，记录一下，是哪个询问的l-1或者是r

那么，我们从i=1开始更新到根的路径上的值，每次将与i有关的询问，处理一下这个询问[1,r]或者[1,l-1]的值。

最后统计做差即可。

代码：（脑残了pushdown竟然忘了s(ls)+=a(x)*(len)忘了乘区间长度。。。而且，，，add懒标记忘了下放！！！）

（心急不得啊。）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=50000+10;
const int mod=201314;
int n,m;
struct node{
    int nxt,to;
}e[2*N];
int hd[N],cnt;
void add(int x,int y){
    e[++cnt].nxt=hd[x];
    e[cnt].to=y;
    hd[x]=cnt;
}
int fa[N],top[N],son[N],dfn[N],dep[N];
int sz[N];
void dfs(int x,int d){
    sz[x]=1;dep[x]=d;
    for(int i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(y!=fa[x]){
            fa[y]=x;
            dfs(y,d+1);
            sz[x]+=sz[y];
            if(sz[y]>sz[son[x]]){
                son[x]=y;
            }
        }
    }
}
int tot;
void dfs2(int x){
    dfn[x]=++tot;
    if(!top[x]) top[x]=x;
    if(son[x]) top[son[x]]=top[x],dfs2(son[x]);
    for(int i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
        dfs2(y);
    }
}
struct tr{
    ll sum;
    ll ad;
    #define ls x<<1
    #define rs x<<1|1
    #define s(x) t[x].sum
    #define a(x) t[x].ad
}t[4*N];
void build(int x,int l,int r){
    if(l==r){
        a(x)=0;
        s(x)=0;return;
    }
    s(x)=0;a(x)=0;int mid=(l+r>>1);
    build(ls,l,mid);
    build(rs,mid+1,r);
    s(x)=s(ls)+s(rs);
}
void pd(int x,int l,int r){
    if(!a(x)) return;
    int mid=l+r>>1;
    s(ls)=(s(ls)+a(x)*(mid-l+1))%mod;
    s(rs)=(s(rs)+a(x)*(r-mid))%mod;
    a(ls)=(a(ls)+a(x))%mod;
    a(rs)=(a(rs)+a(x))%mod;
    a(x)=0;
}
void upda(int x,int l,int r,int L,int R){
    if(L<=l&&r<=R){
        a(x)++;s(x)+=r-l+1;
        a(x)%=mod;s(x)%=mod;
        return;
    }
    int mid=(l+r>>1);
    pd(x,l,r);
    if(L<=mid) upda(ls,l,mid,L,R);
    if(mid<R) upda(rs,mid+1,r,L,R);
    s(x)=(s(ls)+s(rs))%mod;
}
ll query(int x,int l,int r,int L,int R){
    if(L<=l&&r<=R) return s(x);
    pd(x,l,r);
    ll ret=0;int mid=(l+r>>1);
    if(L<=mid) ret+=query(ls,l,mid,L,R);
    if(mid<R) ret+=query(rs,mid+1,r,L,R);
    ret%=mod;
    return ret;
}
struct que{
    ll lans,rans;
    int x;
    int l,r;
}qus[N];
vector<int>q[N];
void wrk1(int x){
    while(top[x]!=1){
        upda(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
        x=fa[top[x]];
    }
    upda(1,1,n,1,dfn[x]);
}
ll wrk2(int x){
    ll ret=0;
    while(top[x]!=1){
        ret+=query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
        ret%=mod;
        x=fa[top[x]];
        
    }
    ret=(ret+query(1,1,n,1,dfn[x]))%mod;
    return ret;
}    
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x);x++;
        add(i,x);add(x,i);
    }    
    int l,r;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&qus[i].x);
        l++,r++,qus[i].x++;
        q[l-1].push_back(i);
        q[r].push_back(i);
        qus[i].l=l;qus[i].r=r;
    }
    dfs(1,1);
    dfs2(1);
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        wrk1(i);
        for(int j=0;j<q[i].size();j++){
            int id=q[i][j];;
            ll sum=wrk2(qus[id].x);
            if(qus[id].l-1==i) qus[id].lans=sum;
            else qus[id].rans=sum;
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        printf("%d
",(qus[i].rans+mod-qus[i].lans)%mod);
    }
    return 0;
}

强制在线？：

可持久化扫描线。可持久化线段树进行区间加法。空间log^2

PS：还可以线段树分治+虚树的离线做法

【2018 12月集训 Day2】小奇的危机

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upda:2019.5.7

加强版：

[GXOI/GZOI2019]旧词 

k次方？

理解路径+1的本质：把整个的距离差分成了每一步的距离 ！(dep[x]+1)^1-dep[x]^1=1

把1换成k即可。这样每个点有一个权值，还有一个标记的贡献次数。线段树维护即可

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^'0')
#define pb push_back
#define solid const auto &
#define enter cout<<endl
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('
');}

namespace Miracle{
const int N=50005;
const int mod=998244353;
int n,m,k;
int ad(int x,int y){
    return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int mul(int x,int y){
    return (ll)x*y%mod;
}
int qm(int x,int y){
    int ret=1;
    while(y){
        if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
struct node{
    int nxt,to;
}e[2*N];
int hd[N],cnt;
void add(int x,int y){
    e[++cnt].nxt=hd[x];
    e[cnt].to=y;hd[x]=cnt;
}
int fa[N],top[N],son[N],sz[N],dep[N];
ll val[N];
void dfs(int x,int d){
    dep[x]=d;
    val[x]=ad(qm(d,k),mod-qm(d-1,k));
    sz[x]=1;
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        fa[y]=x;
        dfs(y,d+1);
        sz[x]+=sz[y];
        if(sz[y]>sz[son[x]]) son[x]=y;
    }
}
int dfn[N],fdfn[N],df;
void dfs2(int x){
    dfn[x]=++df;fdfn[df]=x;
    if(!top[x]) top[x]=x;
    if(son[x]) top[son[x]]=top[x],dfs2(son[x]);
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(y==son[x]) continue;
        dfs2(y);
    }
}
struct tr{
    int add;
    int tot,sum;
}t[4*N];
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
void pushup(int x){
    t[x].sum=ad(t[ls].sum,t[rs].sum);
}
void build(int x,int l,int r){
    if(l==r){
        t[x].tot=val[fdfn[l]];return;
    }
    build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
    t[x].tot=ad(t[ls].tot,t[rs].tot);
}
void tag(int x,int l,int r,int c){
    t[x].sum=ad(t[x].sum,mul(t[x].tot,c));
    t[x].add=ad(t[x].add,c);
}
void pushdown(int x,int l,int r){
    if(!t[x].add) return;
    tag(ls,l,mid,t[x].add);
    tag(rs,mid+1,r,t[x].add);
    t[x].add=0;
}
void chan(int x,int l,int r,int L,int R,int c){
    if(L<=l&&r<=R){
        tag(x,l,r,c);return;
    }
    pushdown(x,l,r);
    if(L<=mid) chan(ls,l,mid,L,R,c);
    if(mid<R) chan(rs,mid+1,r,L,R,c);
    pushup(x);
}
int query(int x,int l,int r,int L,int R){
    if(L<=l&&r<=R) return t[x].sum;
    pushdown(x,l,r);
    if(L>mid) return query(rs,mid+1,r,L,R);
    if(R<=mid) return query(ls,l,mid,L,R);
    return ad(query(rs,mid+1,r,L,R),query(ls,l,mid,L,R));
}
void wrk1(int x){
    while(x){
        chan(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],1);
        x=fa[top[x]];
    }
}
int wrk2(int x){
    int ret=0;
    while(x){
        ret=ad(ret,query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]));
        x=fa[top[x]];
    }
    return ret;
}
struct qs{
    int id,pos,x;
    bool friend operator <(qs a,qs b){
        return a.pos<b.pos;
    }
}q[N];
int ans[N];
int main(){
    rd(n);rd(m);rd(k);
    int y;
    for(reg i=2;i<=n;++i){
        rd(y);add(y,i);
    }
    dfs(1,1);dfs2(1);
    // prt(dfn,1,n);
    // prt(fa,1,n);
    // prt(top,1,n);
    // prt(son,1,n);
    // prt(fdfn,1,n);
    // prt(val,1,n);

    build(1,1,n);
    for(reg i=1;i<=m;++i){
        rd(q[i].pos);rd(q[i].x);q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+m+1);
    int ptr=0;
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        wrk1(i);
        while(ptr<m&&q[ptr+1].pos==i){
            ++ptr;
            ans[q[ptr].id]=wrk2(q[ptr].x);
        }
    }
    for(reg i=1;i<=m;++i){
        printf("%d
",ans[i]);
    }
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
*/