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  • 置换群和Burnside引理,Polya定理

    定义简化版:

    置换,就是一个1~n的排列,是一个1~n排列对1~n的映射

    置换群,所有的置换的集合。

    经常会遇到求本质不同的构造,如旋转不同构,翻转交换不同构等。

    不动点:一个置换中,置换后和置换前没有区别的排列

    Burnside引理:本质不同的方案数=每个置换下不动点的个数÷置换总数(一个平均值)

    Polya定理:一个置换下不动点的个数=颜色^环个数。(辅助Burnside引理,防止枚举不动点复杂度过高)

    这篇文章写得很详细了(具体的在此不说了):

    Burnside引理与Polya定理

    **特殊模型的环个数:

    ①旋转同构,N个点,每个点移动k步(0<=k<=n-1),环个数gcd(k,N)

    证明:

    1.对于k是N的约数,显然成立。一个环用N/k个,可以分成N/(N/k)=k个环。gcd(k,N)=k也成立。

    2.当k不是N的约数,最小的环长度是:lcm(N,k),环用的端点是:lcm/k个,可以凑成N/(lcm/k)=N*k/lcm=gcd(N,k)个。

    证毕。

    ②对称同构:

    奇数个点对称:1+(n-1)/2个(轴一定过一个顶点)

    偶数:按边对称:n/2个

    按点对称:2+(n-2)/2个。

    (证明显然,画图自行理解)

    **

    例题:poj2154 Color

    题解:

    思路:列出式子,转化每个因子作为gcd的贡献。然后处理成欧拉函数即可。

    而且,1/n的分母,因为化简的时候消掉了,不用求逆元之类的。(况且p不是质数,要EXLUCAS。。。)

    (类似longge的问题(虽然这篇博客没用欧拉函数):[SDOi2012]longge的问题

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9416710.html
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