[SCOI2014]方伯伯的商场之旅

Description

方伯伯有一天去参加一个商场举办的游戏。商场派了一些工作人员排成一行。每个人面前有几堆石子。说来也巧，位置在 i 的人面前的第 j 堆的石子的数量，刚好是 i 写成 K 进制后的第 j 位。

现在方伯伯要玩一个游戏，商场会给方伯伯两个整数 L,R。方伯伯要把位置在 [L, R] 中的每个人的石子都合并成一堆石子。每次操作，他可以选择一个人面前的两堆石子，将其中的一堆中的某些石子移动到另一堆，代价是移动的石子数量 * 移动的距离。商场承诺，方伯伯只要完成任务，就给他一些椰子，代价越小，给他的椰子越多。所以方伯伯很着急，想请你告诉他最少的代价是多少。

例如：10 进制下的位置在 12312 的人，合并石子的最少代价为：

1 * 2 + 2 * 1 + 3 * 0 + 1 * 1 + 2 * 2 = 9

即把所有的石子都合并在第三堆

Input

输入仅有 1 行，包含 3 个用空格分隔的整数 L，R，K，表示商场给方伯伯的 2 个整数，以及进制数

HINT

 1 < =  L < =  R < =  10^15, 2 < =  K < =  20

Solution

说白了，这个题就是给了L~R的数，每个数的每个数位是一堆石子，把这堆石子合成一个位置，求总的最小代价。

法一：GZZ法

发现，对于一个数字P，假设钦定最终合并位置是p，

调整的时候，p向左移动一位，代价变化是p及右边所有的数位和-p左边所有数位和。

p向右移动一位，代价变化是p及左边所有数位和-p右边所有数位和。

设最优的位置的数字是x，位置是p，p左边数位和是a，右边是b

那么，一定有不等式：x+a-b>=0 ; x+b-a>=0 就是说，x不论往左往右移动，代价的变化总是增大的。

即：-x<=a-b<=x

所以，如果知道最终填的a-b，和x，p，就可以判断这个p位置填x是不是左边a，右边b的最优解了。

枚举p，x；

伪代码：(cnt是最高位,进制用m，填数用k)

for(p=1~cnt)

  for(x=0~m-1)

    for(i=cnt~1)

　  for(a-b=-200~+200)

　　设f[i][a-b][0/1]表示，填完第i位，a-b的值，有没有限制情况下，所有符合情况的数移动到p位置所花费的代价。

          g[i][a-b][0/1]表示，f的方案数，即满足情况的数的个数，方便转移。

       if(i==p){

　　　　

　　　　continue;

　　}

       for(k=0;k<m;k++){

　　　　if(i<p)

　　　　else

　　}

　在i循环完之后，

　for(a-b=-200~+200)

      if(-x<=a-b<x) ret+=f[1][a-b][0/1]

　注意这里是<=和<，因为可能一个数字有两个位置都是最优的合并位置，只能算一遍。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=70;
const int M=22;
const int fix=201;
const int up=402;
ll f[N][405][2];
ll g[N][405][2];
ll L,R;
int m;
ll ansl,ansr;
int a[N],cnt;
ll wrk(){
    ll ret=0;
    for(int p=1;p<=cnt;p++){
       for(int x=0;x<m;x++){
        memset(f,0,sizeof f);
        memset(g,0,sizeof g);
        g[cnt+1][fix][1]=1;
        for(int i=cnt;i>=1;i--){
            for(int j=0;j<=up;j++){
                    if(i==p){
                        if(x<a[i]){
                            if(g[i+1][j][0]) g[i][j][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j][0]+=f[i+1][j][0];
                            if(g[i+1][j][1]) g[i][j][0]+=g[i+1][j][1],f[i][j][0]+=f[i+1][j][1];
                        }                        
                        else if(x==a[i]){
                            g[i][j][1]+=g[i+1][j][1],f[i][j][1]+=f[i+1][j][1];
                            g[i][j][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j][0]+=f[i+1][j][0];
                        }
                        else{
                            g[i][j][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j][0]+=f[i+1][j][0];
                        }
                        continue;
                    }
                    
                for(int k=0;k<m;k++){
                    if(i>p){//before
                        if(j+k>up) continue;
                        
                        if(k<a[i]){
                            g[i][j+k][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j+k][0]+=f[i+1][j][0]+(i-p)*k*g[i+1][j][0];
                            g[i][j+k][0]+=g[i+1][j][1],f[i][j+k][0]+=f[i+1][j][1]+(i-p)*k*g[i+1][j][1];
                        }
                        else if(k==a[i]){
                            g[i][j+k][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j+k][0]+=f[i+1][j][0]+(i-p)*k*g[i+1][j][0];
                            g[i][j+k][1]+=g[i+1][j][1],f[i][j+k][1]+=f[i+1][j][1]+(i-p)*k*g[i+1][j][1];
                        }
                        else{
                            g[i][j+k][0]+=g[i+1][j][0],f[i][j+k][0]+=f[i+1][j][0]+(i-p)*k*g[i+1][j][0];
                        }
                    }
                    else{//after 
                        if(j-k<0) continue;
                    
                    
                        if(k<a[i]){
                            f[i][j-k][0]+=f[i+1][j][0]+g[i+1][j][0]*(p-i)*k,g[i][j-k][0]+=g[i+1][j][0];
                            f[i][j-k][0]+=f[i+1][j][1]+g[i+1][j][1]*(p-i)*k,g[i][j-k][0]+=g[i+1][j][1];
                        }
                        else if(k==a[i]){
                            f[i][j-k][0]+=f[i+1][j][0]+g[i+1][j][0]*(p-i)*k,g[i][j-k][0]+=g[i+1][j][0];
                            f[i][j-k][1]+=f[i+1][j][1]+g[i+1][j][1]*(p-i)*k,g[i][j-k][1]+=g[i+1][j][1];
                        }
                        else{
                            f[i][j-k][0]+=f[i+1][j][0]+g[i+1][j][0]*(p-i)*k,g[i][j-k][0]+=g[i+1][j][0];
                        }
                    }
                }
            }
        }
            for(int j=0;j<=up;j++){
                if((fix-x<=j)&&(j<x+fix)){
                    ret+=f[1][j][0]+f[1][j][1];            
                }
            }
        }
    }    
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&L,&R);
    scanf("%d",&m);
    L--;
    cnt=0;
    while(L){
        a[++cnt]=L%m;
        L/=m;
    }
    if(cnt==0){
        ansl=0;
    }
    else{
        ansl=wrk();
    }
    
    cnt=0;
    while(R){
        a[++cnt]=R%m;
        R/=m;
    }
    ansr=wrk();
    printf("%lld",ansr-ansl);
}

法二：大众法。

直接钦定1号位置是最优位置，计算出来所有的总和ans

调整。

枚举位置p从2~cnt，表示要计算从p-1移动到p，会有多少个数的代价减少多少。

代价就是，sum(1，p-1）-sum(p,cnt)

设f[i][a-b][0/1]表示，第i位，这个sum的差值，有没有限制情况下，多少个数符合这个情况。

循环完一个p之后，

把a-b<0的f，ans-=(a-b)*f[i][a-b][0/1]

a-b>=0的不管。

这样进行cnt次，一定可以把所有的数移动到最优解的位置。

网上题解很多，代码就不贴了。（我也没写）