[POI2000]病毒

题目描述

二进制病毒审查委员会最近发现了如下的规律：某些确定的二进制串是病毒的代码。如果某段代码中不存在任何一段病毒代码，那么我们就称这段代码是安全的。现在委员会已经找出了所有的病毒代码段，试问，是否存在一个无限长的安全的二进制代码。

示例：

例如如果{011, 11, 00000}为病毒代码段，那么一个可能的无限长安全代码就是010101…。如果{01, 11, 000000}为病毒代码段，那么就不存在一个无限长的安全代码。

输入格式：

在文本文件WIR.IN的第一行包括一个整数n(n≤2000)，表示病毒代码段的数目。以下的n行每一行都包括一个非空的01字符串——就是一个病毒代码段。所有病毒代码段的总长度不超过30000。

输出格式：

在文本文件WIR.OUT的第一行输出一个单词：

TAK——假如存在这样的代码；

NIE——如果不存在。

题解：

总长度不超过30000启发我们用trie，多个模式串匹配，启发我们用AC自动机。

但是，一般的问题是，构造一个给定长度的串，使得出现若干个模式串等问题。

通常用dp解决。

但是这个题就比较新奇了。

问你能不能构造一个无限长的串，不存在一个模式串。

怎么处理无限问题？

那么一定要考虑，为什么是无限的？

也许有个循环节？可以考虑

也可以反过来，考虑，如果我们把这个无限长的串，放在AC自动机上匹配，

那么，最终的结果是，一定存在一个无限长的串，通过跳fail，可以在AC自动机上不断循环在一个环上。

证明：

我们把儿子指针作为一个向下的有向边，fail指针作为一个返祖边或者横叉边

记AC自动机上的点代表的子串包含一个病毒代码的点称为危险点。

对于AC自动机有环的情况，一定可以构造一个无限长的串。（先匹配到这个点，然后环上循环即可。）

对于没有环的情况，匹配时一个节点一定只会经过一次。否则就有环了。

那么，匹配下去，由于串无限长，节点有限个，那么必然会经过一个危险点，无解。

证毕。

所以， AC自动机建好后，类似Tarjan判环(强连通分量)即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2002;
const int M=30000+5;
struct AC{
    int ch[M][2],cnt;
    int fail[M];
    bool has[M];
    void ins(char *s){
        int len=strlen(s+1);
        int now=0;
        for(int i=1;i<=len;i++){
            int x=s[i]-'0';
            if(!ch[now][x]) ch[now][x]=++cnt;
            now=ch[now][x];
        }
        has[now]=1;
    }
    void build(){
        queue<int>q;
        for(int i=0;i<=1;i++) if(ch[0][i]) fail[ch[0][i]]=0,q.push(ch[0][i]);
        while(!q.empty()){
            int x=q.front();q.pop();
            has[x]|=has[fail[x]];
            for(int i=0;i<=1;i++){
                if(ch[x][i]){
                    fail[ch[x][i]]=ch[fail[x]][i];
                    q.push(ch[x][i]);
                }
                else ch[x][i]=ch[fail[x]][i];
            }
        }
    }
}t;
int n;
char s[M];
int dfn[M],low[M],df;
int sta[M],top;
bool in[M];
bool fl;
void dfs(int x){
    if(fl) return;
    dfn[x]=low[x]=++df;
    sta[++top]=x;
    in[x]=1;
    for(int i=0;i<=1;i++){
        if(t.has[t.ch[x][i]]) continue;
        if(!dfn[t.ch[x][i]]){
            dfs(t.ch[x][i]);
            low[x]=min(low[x],low[t.ch[x][i]]);
        }
        else if(in[t.ch[x][i]]) low[x]=min(low[x],dfn[t.ch[x][i]]);
    }
    if(low[x]==dfn[x]){
        int sz=0;
        int z;
        do{
            z=sta[top--];
            sz++;
            in[z]=0;
        }while(z!=x);
        if(sz>1) fl=true;
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    fl=false;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s+1);
        t.ins(s);
    }
    t.build();
    dfs(0);
    puts(fl?"TAK":"NIE");
    return 0;
}

总结：

怎么说，POI的题目就是脑洞新奇~~

思考的关键点在于，为什么可以构造出无限长的，把这个串往AC自动机上匹配会怎么样？

其实是比较自然的想法。毕竟怎么问，怎么考虑。