【算法氵】筛法

埃拉托斯特尼筛法：

质朴的算法：

　　确认质数：从2开始，从小到大找第一个未被筛去的数

　　筛去合数：确认是质数之后，筛去质数的所有倍数

因此程序大概就是

埃拉托斯特尼筛

记得小学课本学“素数”的时候就有类似的图：

　　一张10*10的数表，从2开始，从小到大找第一个未被划斜杠的数，之后将其的倍数全部杠掉

 （缺图）

很快就会发现，2筛去了一半的数，而之后的偶数几乎都被筛去了很多次（类似于鞭尸。。），也就是说，花费了很多无用的时间来筛去已经被筛过的数

于是我们很容易就会想到这样的优化：当当前”筛子“不为2时，每次隔1个数筛一个

以此类推，隔2个隔3个……

于是最终就可以迭代到欧拉筛法：

欧拉筛法：

　　“思想是 使每个数只被其最小质因数所筛去 ”

讲起来简单，但却不好实现

一种实现的办法是：

　　之前的埃筛法中，只有素数可以当筛子，因为判定素数和筛除操作是一起执行的

　　我们知道，所谓合数，也就是可以表达成素数幂之积

　　如：6174=2*3*3*7*7*7

　　按照欧拉筛法的思想，应该使得6174被2筛去，但是如果合数也可以做筛子：

　　　　那么可以让6174被3087筛去

　　　　3087被1029筛去

　　　　1029被343筛去

　　　　343被49筛去

　　　　49被7筛去

　　　　7没有被比它小的数所筛去，可以确定7是素数

　　也就是说，如果每个素数筛去 该素数与 不大于它的素数 之积，合数筛去 该合数与 不大于它最小质因子 的素数 之积，就可以不重复不遗漏（类似于数学归纳法）

举例：

　　2做筛子，筛去4

　　3做筛子，筛去6，9

　　4做筛子，筛去8

　　5做筛子，筛去10，15，25

　　6做筛子，筛去12

　　7做筛子，筛去14，21，35，49

　　8做筛子，筛去16

　　9做筛子，筛去18，27

　　10做筛子，筛去20

　　11做筛子，筛去22，33，55，77，121

　　12做筛子，筛去24

　　13做筛子，筛去26，39，65，91，143，169

　　14做筛子，筛去28

　　15做筛子，筛去30，45

　　16做筛子，筛去32

　　17做筛子，筛去34，51，85，119，187，221，289

……大概就是这样子

因此：

　　确认质数：从2开始，从小到大找第一个未被筛去的数

　　筛去合数：每个数都筛去 它与 不大于它的素数 之积，如果这个数是合数，则发现其第一个因子的时候停止筛除操作

 代码如下

for(int i=2; i<=MAX; ++i) {
    if(!number[i])
        prime[++ctprime]=i;
    else
        for(int ii=1; i*prime[ii]<=MAX && ii<=ctprime; ++ii) {
            number[i*prime[ii]]=true;
            if(i%prime[ii]==0)
                break;
        }
}
// bool number[MAX]= {1,1,0};//0为素数，MAX为数据规模
// int prime[]= {0,2};//这个数组可以比MAX小很多
// int ctprime;//初始值为0

for(int i=2; i<=MAX; ++i) {
        if(!number[i]) {//优化:素数一定可以筛到它的平方,减少判断
            prime[++ctprime]=i;
            for(int ii=1; ii<=ctprime && i*prime[ii]<=MAX; ++ii)
                number[i*prime[ii]]=true;
        } else
            for(int ii=1; i*prime[ii]<=MAX && ii<=ctprime; ++ii){
                number[i*prime[ii]]=true;
                if(i%prime[ii]==0)
                    break;
            }
    }

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