DP——背包问题（一）

                              以前不是很重视 DP ，遇到 DP 就写贪心、暴搜……其实这是非常错误的，现在开始练习 DP 了才发现，我好菜……

                              对于DP的整理，先从众所周知的背包问题开始。

———————— 01背包：n 个物品，重量和价值分别为 w[i]、v[i]，背包容量 W,求所有挑选方案中价值总和的最大值。

                             DP 方程 ：dp[j] = max ( dp[j] , dp[ j - w[i] ] + v[i] ) ，其中 dp[j]为使用 j 的容量获得的最大价值，i 为第 i 件物品。

                             代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
using namespace std;
int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000];
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&W);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=W;j>=w[i];j--){
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }
    printf("%d",dp[W]);
    return 0;
}

———————— 完全背包：n 种物品，数目不限，其他的和 01背包 一 样。

                             DP 方程 ： dp[j] = max ( dp[j] , dp[ j - w[i] + v[i] ) ，是不是感觉和 01背包 一样？其实，就是 一样……-- ^ --|||||，但代码有细微差别……

                             代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
using namespace std;
int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000];
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&W);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=w[i];j<=W;j++){
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }
    printf("%d",dp[W]);
    return 0;
}

                            那么，问题来了，为什么 01背包 是倒着 循环，而 完全背包 是正着循环……动笔模拟一下，你会发现且理解 — 正着循环会对一件物品重复选取╮（╯＿╰）╭，而倒着循环就不会……

———————— 多重背包：n 种物品，给定数目 m[i]，其他和 01 背包一样。

                             DP 方程：dp[j] =max ( dp[j],dp[ j - w[i] ] + v[i] ），&%&……￥怎么又一样，其实 多重背包 就是特殊处理化的 01背包,这个特殊处理就是 二进制拆分。

                             二进制拆分：众所周知什么是二进制，二进制拆分就是把 m[i] 个物品拆成 1个物品、2个物品组成的新物品、4个物品组成的新物品、8个物品组成的新物品……一                              直到不能拆为止，因为二进制可以 表示 出任何实数的嘛。

                             代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
using namespace std;
int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000],m[2000];
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&W);
    int x=n;
    int y;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d %d",&w[i],&v[i],&m[i]);
    for(int i=1;i<=x;i++){
        y=1;
        while(m[i]>y&&m[i]>1){
            n++;
            w[n]=y*w[i];
            v[n]=y*v[i];
            m[i]-=y;
            y=y*2;
        }
        w[i]=m[i]*w[i];
        v[i]=m[i]*v[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=W;j>=w[i];j--){
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }
    printf("%d",dp[W]);
    return 0;
}

———————— 三种混合背包（01背包、完全背包、多重背包）：这种问题就是给定 m[i]，若 m[i] 为 -1，则为数目无限，否则数目有限，其他的和 01背包 一样。虽然写着是三种                              混合背包，但我认为实际上是两种背包，多重背包 和 完全背包。方法就是能拆分的就拆分，在循环的时候，判断一下，如果是 完全背包 就正着循环，不然就倒                                着循环…………蛮easy的QAQ~

                             代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
using namespace std;
int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000],m[2000];
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&W);
    int x=n;
    int y;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d %d",&w[i],&v[i],&m[i]);
    for(int i=1;i<=x;i++) if(m[i]!=-1) { 
        y=1;
        while(m[i]>y&&m[i]>1){
            n++;
            w[n]=y*w[i];
            v[n]=y*v[i];
            m[i]-=y;
            y=y*2;
        }
        w[i]=m[i]*w[i];
        v[i]=m[i]*v[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        if(m[i]!=-1)
        for(int j=W;j>=w[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }
    else 
        for(int j=w[i];j<=W;j++)
             dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    printf("%d",dp[W]);
    return 0;
}