Polya定理与Burnside引理

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(Burnside引理)

• 公式
  (egin{aligned}L=frac{1}{|G|}sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i}end{aligned})

• 一些定义
  (E_i) 表示与(i)同类的方案
  (Z_i) 表示使(i)不变的置换
  (G) 表示所有的置换方法
  (D_i) 表示(i)这种置换能使多少方案不变
  (n) 表示方案总数
  (L) 表示本质不同的方案数

• 引理的引理
  (|E_i|*|Z_i|=|G|) ( //)这个我不会证明
  (egin{aligned}n=sum_{i=1}^{L}{|E_i|}end{aligned})( //)这个就是按照定义，注意的是(E_i)表示的是本质不同的第(i)种方案
  (egin{aligned}sum_{i=1}^n|Z_i|=sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i}end{aligned})( //)这个也是按照定义，就是换了个计算方法，计算的是同样的东西

• Burnside引理
  (egin{aligned}sum_{j=1}^n|Z_j|=sum_{i=1}^Lsum_{j in E_i}|Z_j|=sum_{i=1}^L|E_i|·|Z_i|=L·|G| end{aligned})
  (egin{aligned} herefore L·|G|=sum_{j=1}^{|G|}D_{G_i} end{aligned})
  (egin{aligned} herefore L=frac{1}{|G|}sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i} end{aligned})

(Polya定理)

• 公式
  (egin{aligned}L=frac{1}{|G|}sum_{i=1}^{|G|}m^{C_{G_i}}end{aligned})
  其中(m)为颜色个数,(C_i)为第(i)种置换有多少个循环

(一个置换的循环个数)

一个项链有(n)个珠子,用(k)种颜色涂染会形成多少种不同的项链
两条可通过旋转得到的项链为相同项链

有(n)种置换方式(()每次旋转(0,1,2...n)个珠子())
对于一次旋转(i)个珠子的方式，有(gcd(i,n))个循环
证明
每个循环有的珠子的个数因是一样的
假设从(x)号珠子开始置换，循环结束时一定回到(x)号珠子 如(x->(x+i-1)\%n+1->(x+2i-1)\%n+1->x)
假设循环有(p)个珠子，那么循环(p)次就回到原来的珠子，此时转过(i)和(n)的最小公倍数个珠子
(p·i=i·n/gcd(i,n) kin Z)
( herefore p=n/gcd(i,n))
每个循环有(p)个珠子那么就有(n/p=gcd(i,n))个循环