SGU495 Kids andPrices[期望DP]

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(mathcal{Description})
有(n)个格子，每次等概率随机给一个格子染色，问涂(m)次后期望有多少格子被染色了

(mathcal{Solution})
设(f[i])表示涂(i)次后期望有多少格子被染色了
现在进行第(i)次染色，有两种情况

1. 有(frac{f[i-1]}{n})的概率涂到已经涂过的格子
2. 有(frac{n-f[i-1]}{n})的概率涂到没涂过的格子

需要注意的是，无论是以上哪种，都已经有(f[i-1])个格子被染色了
所以有
(f[i]=frac{f[i-1]}{n}·0+frac{n-f[i-1]}{n}·1+f[i-1])
将其化简
(f[i]=frac{n-f[i-1]}{n}+f[i-1]=frac{n-1}{n}f[i-1]+1)
此时该式就是一个等差数列套等比数列
于是我们可以求其通项公式，博主懒得求了写下大致过程

令(k=frac{n-1}{n})
(f_n=kf_{n-1}+1)
(f_n+frac{1}{k-1}=kf_{n-1}+frac{k}{k-1})
(f_n+frac{1}{k-1}=k(f_{n-1}+frac{1}{k-1}))
令(g_n=f_n+frac{1}{k-1})
则(g_n=kg_{n-1})
怎么求(g_n)就不用说了吧
(f_n=g_n-frac{1}{k-1})
(f_n)也能求出来了

初值(f[0]=0)答案为(f[m])
应正向循环

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