简单题[期望DP]

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(mathcal{Description})
桌面上有R张红牌和B张黑牌，随机打乱顺序后放在桌面上，开始一张一张地翻牌，翻到红牌得到1美元，黑牌则付出1美元。可以随时停止翻牌，在最优策略下平均能得到多少钱。
(mathcal{Solution})

设(f[i][j])表示有(i)张红牌，(j)张黑牌的期望收益
考虑翻一张牌，有两种情况

1. 有(frac{i}{i+j})的概率翻到红牌，此后就只有(i-1)张红牌，(j)张黑牌
2. 有(frac{j}{i+j})的概率翻到黑牌，此后就只有(i)张红牌，(j-1)张黑牌

需要注意的是，不要忘了翻开的牌的贡献
翻开一张牌后，该颜色牌数目就少了一张

所以有
(f[i][j]=frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1))
由于是最优策略，所以咱是不可能赔钱的
(f[i][j]=max(0,frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1)))

初值(f[0][1]=0,f[1][0]=1)，答案为(f[R][B])
应正向循环

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