实用抽象代数笔记

丢点最近写的内容刷刷存在感。
本来想写非实用抽象代数笔记的，写了一点发现再写的话期中考前抽代就复习不完了，于是就腰斩了那篇笔记。
说不定以后还会接着写，谁知道呢？咕咕咕。

证明(2k)阶群（(k)是奇数）必有(k)阶正规子群。

考虑这样构造一个同态：用任意方式有序化(2k)阶群(G)的元素，将(G)每个元素(g)的左作用看作对(G)中元素的置换(sigma_g)，则同态(phi:gmapsto (-1)^{{ m sign}(sigma_g)})是(G o {pm 1})的一个同态。
由同态基本定理，若该同态映上，则(G/{ m Ker}phicong {pm 1})，从而(|{ m Ker}phi|=frac{|G|}{2})，也就完成了证明。现在证明同态是映上的，则只要证存在(g)使得(phi(g)=-1)。
考虑置换的特殊性质：每个元素(g)只会在各个(sigma_{g'})中恰好在每个位置出现一次。现证明这些排列的总逆序对数是奇数，从而必有奇置换，就完成了证明。对于每一对元素(i,j)，由于(i)在每个排列中恰于每个位置出现(1)次，故不可能永远在(j)之前。根据每个元素是否交换(i,j)的顺序，又可构造一个到({pm 1})的同态，且该同态必是满的。于是恰有(k)个元素的左作用交换了(i,j)，贡献的逆序对数必为奇数。
而(i,j)二元组的总数目(frac{2k(2k-1)}{2})也是奇数，故总逆序对数为奇数，就完成了证明。

设群(G)有一个指数为(n)的子群(H)，证明(H)包含一个(G)的正规子群(N)满足([G:N]|n!)

考虑这样构造一个(G)在(G/_LH)上的左作用：(g*aH:=gaH)，这个作用对应一个(G o S(G/_LH))的同态，考察其同态核，为满足(forall ain G)，有(a^{-1}gain H)的元素(g)。容易知这样的(g)组成一个群(N)且(Nleq H)，同态基本定理得(G/Ncong { m Im}phileq S(G/_LH))，立得([G:N]|n!)。

重要推论：若(p)是(|G|)的最小质因子且子群(Hleq G)满足([G:H]=p)，则(Hunlhd G)

这是因为由前述结论，存在(Kleq H)使得(Kunlhd G)且([G:K]|p!)，由(p)是最小质因子的假设，必有([G:K]|p)，而显然(p|[G:K])，故([G:K]=p)，也就推出(Hunlhd G)。

重要推论：若群(G)不含指数为(2)的子群，则指数为(3)的子群一定是正规的。

若(Hleq G)且([G:H]=3)，由前述结论，存在(H)的子群(N)满足(Nunlhd G)且([G:N]|3!=6)。又易知(3|[G:N])，故([G:N])为(3)或(6)。若([G:N]=6)，考虑(6)阶群(G/N)，由前述结论必有(3)阶子群(K/N)，由对应定理(K)是(G)的指数为(2)的子群，矛盾。于是([G:N]=3)，即(N=H,Hunlhd G)。

设(|G|=p^n)，证明对任意(H<G)，(H<N(H))

对(n)使用归纳法，(n=0)时，定理显然成立。假设定理对(nleq k)成立，考虑类方程可知对群的中心(C=C(G))，有(pig||C|)。则：

1. 若(Cleq H)不成立，由于(Ccup Hsubseteq N(H))，命题显然成立。
2. 否则(Cleq H)。构造自然同态后对应定理即得(H/C< G/C)，根据归纳假设，(H/C< N(H/C))，而(gCin N(H/C)Leftrightarrow(forall hin H)(gCcdot hCcdot g^{-1}C=ghg^{-1}Cin H/C)) (Leftrightarrow(forall hin H)(ghg^{-1}in H)Leftrightarrow gin N(H))，故(N(H/C)=N(H)/C)，由对应定理可得(H<N(H))。