【计蒜客习题】圣诞树

问题描述

圣诞节快到了，蒜头君准备做一棵大圣诞树。
这棵树被表示成一组被编号的结点和一些边的集合，树的结点从 1 到 n 编号，树的根永远是 1。每个结点都有一个自身特有的数值，称为它的权重，各个结点的权重可能不同。对于一棵做完的树来说，每条边都有一个价值 v_e，若设这条边 e 连接结点 i 和结点 j，且 i 为 j的父结点（根是最老的祖先），则该边的价值v_e=s_j*w_e,s_j表示结点 j 的所有子孙及它自己的权重之和，w_e表示边 e 的权值。
现在蒜头君想造一棵树，他有 m 条边可以选择，使得树上所有边的总价值最小，并且所有的点都在树上，因为蒜头君喜欢大树。

输入格式

第一行输入两个整数 n 和 m(0≤n,m≤50,000），表示结点总数和可供选择的边数。
接下来输入一行，输入 n 个整数，依次表示每个结点的权重。
接下来输入 m 行，每行输入 3 个正整数a,b,c（1≤a,b,≤n,1≤c≤10,000），表示结点 a 和结点 b 之间有一条权值为 c 的边可供造树选择。

输出格式

输出一行，如果构造不出这样的树，请输出No Answer，否则输出一个整数，表示造树的最小价值。

样例输入

4 4
10 20 30 40
1 2 3
2 3 2
1 3 5
2 4 1

样例输出

370

---

其实这里就牵扯到最短路的一类问题，这类问题看似是生成树问题但其实是最短路问题，原因就在于边权的定义方式。先来想一种简单的情况，点的边权为1，或者说点没有边权，对于<i,j>（i是j的父亲），v_e=cnt_j*w_e(cnt是j所在子树的结点个数），我们可以用单源最短路算法求出所有结点到树根的最短路，所有结点最短路之和就是答案。为什么呢？题目要求构造一棵树，那么考虑从树根分别走到各个结点的路径长度之和，则<i,j>的贡献就是cnt_j*w_e，因为每要走到j的子树中的一个点就要经过一次<i,j>，而这刚好是边权的定义。那么如何最小化整棵树的边权之和呢？其实就是最小化树根到每个结点的路径长度之和，如果树根确定，只需以树根为源点，跑一遍单源最短路，然后将各个结点的最短路累加起来，如果树根不确定，就需要对每个树根都求一遍到其他结点最短路之和，取最小值。回到原题，每个结点都有权值，其实也很好想，每条边对于答案的贡献都扩大了，比如某一结点的权值为w，先只考虑到这个点的路径，都相当于由原来只经过一次变为经过w次，也就是说，可以把权值为w的点看成没有权值的w个在相同位置的点，在统计答案时，只需将ans+=d[i]修改为ans+=w[i]*d[i]。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;

inline int get_num() {
    int num = 0;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')
        num = num * 10 + c - '0', c = getchar();
    return num;
}

const int mmax = 5e4 + 5, inf = 0x3f3f3f3f;

int head[mmax], eid;

struct Edge {
    int v, w, next;
} edge[2 * mmax];

inline void insert(int u, int v, int w) {
    edge[++eid].v = v;
    edge[eid].w = w;
    edge[eid].next = head[u];
    head[u] = eid;
}

struct node {
    int id, dist;
    node(int i, int d) : id(i), dist(d) {}
    bool operator < (const node& rhs) const {
        return dist > rhs.dist;
    }
};

priority_queue<node> q;

int v[mmax], dist[mmax], vis[mmax];

inline void dijkstra() {
    memset(dist, inf, sizeof(dist));
    dist[1] = 0;
    q.push(node(1, 0));
    while (!q.empty()) {
        int u = q.top().id;
        q.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = 1;
        for (int p = head[u]; p; p = edge[p].next) {
            int v = edge[p].v, w = edge[p].w;
            if (dist[v] > dist[u] + w) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                q.push(node(v, dist[v]));
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n = get_num(), m = get_num();
    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) v[i] = get_num();
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int a = get_num(), b = get_num(), c = get_num();
        insert(a, b, c);
        insert(b, a, c);
    }
    dijkstra();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (dist[i] == inf) {printf("No Answer"); return 0;}
        else ans += dist[i] * v[i];
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}