【BZOJ2118】墨墨的等式

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2118

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好巧妙的一道题！第一眼看感觉是一道数论题，而且和小凯的疑惑还有些相似之处，其实人家是一道图论题。。。

看别人写的博客都比较涩，我也是看了好多，想了好久才明白，所以，下面我尽量好好写，让人更好理解。

题目大意是问，在一段区间里，有多少个数B可以使a₁x₁+a₂x₂+...+a_nx_n=B有解。

我们知道，对于这n个a，k*a+c可以表示所有非负整数，k和c均为非负整数且0<=c<a。所以我们不如让a取n个a中最小的。

假设我们已求得k*a+c可以使上述方程有解，那么显然(k+1)*a+c也可以，所以只要求出最小的k*a+c就可以了。

其实相当于用若干个a₁、a₂、...、a_n凑k*a+c，a是不需要凑的，关键是c，我们关心能不能凑出一个最小的数使之%a=c。

当c=0一定是可以的，而且这个数就是0，那么给0加上任意一个a，就可以凑出另一个c了（现在的a!=最小的a），但是需要加上那个a，也就是会有代价，因为我们想要最小的那个数。

我们发现这不就是最短路问题吗？一共有0到a-1共a个点（因为是在%a意义下），每个点向外有些边指向另外的点，这些边还有权值，我们想知道从起点0到其他点过程中经过边最小权值之和。

所以，对于0到a-1每个点i，建一条从i指向(i+a[j])%a，权值为a[j]的边，跑一遍最短路就可以求出%a=c的最小的数。当然a[j]是指上述n个a的每一个，为了避免有自环，最小的a跳过就好了。

求出来以后，我们对他+a进行调整，在要求的范围内的计数即可，不过统计答案这里还是需要处理细节的，如果你选择了一种比较快的方法。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 15, maxp = 5e5 + 5;
ll inf = 1e12 + 5;

int n, a[maxn], p = maxp;

int head[maxp], eid;

struct Edge {
    int v, w, next;
} edge[maxp * maxn];

inline void insert(int u, int v, int w) {
    edge[++eid].v = v;
    edge[eid].w = w;
    edge[eid].next = head[u];
    head[u] = eid;
}

int vis[maxp];
ll dist[maxp];

struct node {
    int id, dist;
    node(int i, int d) : id(i), dist(d) {}
    bool operator < (const node& rhs) const {
        return dist > rhs.dist;
    }
};

priority_queue<node> q;

inline void dijkstra() {
    memset(dist, inf, sizeof(dist));
    dist[0] = 0;
    q.push(node(0, 0));
    while (!q.empty()) {
        int u = q.top().id;
        q.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = 1;
        for (int p = head[u]; p; p = edge[p].next) {
            int v = edge[p].v, w = edge[p].w;
            if (dist[v] > dist[u] + w) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                q.push(node(v, dist[v]));
            }
        }
    }
}

int main() {
    ll bmin, bmax, ans = 0;
    scanf("%d%lld%lld", &n, &bmin, &bmax);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        p = min(p, a[i]);
    }
    for (int i = 0; i < p; ++i)
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if (a[j] == p) continue; //避免有自环
            insert(i, (i + a[j]) % p, a[j]);
        }
    dijkstra();
    for (int i = 0; i < p; ++i) {
        if (dist[i] > bmax) continue;
        ll l = max(0LL, (bmin - dist[i]) / p);
        ll r = (bmax - dist[i]) / p;
        if (l * p + dist[i] < bmin) ++l;
        ans += r - l + 1;
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}