用康托展开实现全排列(STL、itertools)

康拓展开：

$X=a_n*(n-1)!+a_{n-1}*(n-2)!+ldots +a_2*1!+a_1*0!$

      X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，a为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

这个式子就是康托展开，初看同排列没什么关系，实则不然。下面通过举个例子看一下

一、用康托展开判断一个排列是第几小的

以{1，2,3}为例。我们定义排列的顺序从小到大为123,132,213,231,312,321。

然后我们随便给一个比如312，要判断他在排列中第几大的，则我们可以这样思考，首先第一个比3小可以是1或2，则有2*2！中，第二位比1小，没有，第三位没有。如果说这个不够明显我们看一下321是第几个，首先比3小的2*2！，比2小的1*1！，共2*2！+1*1！=6,。至于其他的各位有兴趣也可以去计算。但这不是我们的重点，我们的重点是得到全排列。

二、康托逆展开

既然康托展开可以判断出某个组合是第几个，那么他是不是也可以构造出第几个排列的值呢？答案是可以的，这里我们叫做康托逆展开。同样的举个例子来看他的工作过程。还是{1,2,3}。现在我们要求出第四大的排列，首先（4-1）%2！=1余1，这个结果表示有有1个数比他小的是2，也就是排列的第一位是2，然后1-1=0则表示没有比第二个大的，即第二个为3，故231。其他例子各位可以自己试。这里给出C++的实现代码

int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040};
int* cantor(int m,int n)//m is for the size of the set,n is the sequence number
{
    bool flag[20]={false};
    int *ans=new int[20];
    int i=m;
    int j=n-1;
    while(i--)
    {
        int temp=(j)/fac[i]+1;
        int count=-1,t;
        for(t=0;t<m;t++)
        {
            if(!flag[t])
            count++;
            if(temp==count)
            break;
        }
        ans[m-i-1]=t;
        flag[t]=true;
        j=(j)%fac[i];
    }
    //for(int t=0;t<m;t++)
    //cout<<ans[t];
    //cout<<endl;
    return ans;
}

不过写完之后突然发现STL中有实现全排列的函数叫

next_permutation()

有兴趣可以看看

 --------------------------------------------------python-----------------------------------------------------------

使用python的话也有一个相应的库iteltools，可以实现排列组合

使用方法见代码

>>>import itertools
>>>list(itertools.permutations([1,2,3,4],4))
[(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2), (2, 1, 3, 4), (2, 1, 4, 3), (2, 3, 1, 4), (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (3, 1, 4, 2), (3, 2, 1, 4), (3, 2, 4, 1), (3, 4, 1, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 1, 3, 2), (4, 2, 1, 3), (4, 2, 3, 1), (4, 3, 1, 2), (4, 3, 2, 1)]
>>>list(itertools.combinations([1,2,3,4],4))
[(1, 2, 3, 4)]