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  • 动态规划——01背包问题

    0-1 背包问题

    给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包,物品 i 的重量是 mi,其价值为 vi 。

    问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大?

    面对每个物品,我们只有选择拿取或者不拿两种选择,不能选择装入某物品的一部分,也不能装入同一物品多次。

    解决办法:声明一个 大小为 dp[n][c] 的二维数组,dp[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品,且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ,那么我们可以很容易分析得出 dp[i][j] 的计算方法,

    (1). j < m[i] 的情况,这时候背包容量不足以放下第 i 件物品,只能选择不拿

    dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ]

    (2). j>=m[i] 的情况,这时背包容量可以放下第 i 件物品,我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

    如果拿取,dp[ i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j-m[ i ] ] + v[ i ]。 这里的dp[ i-1 ][ j-m[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品,背包容量为j-m[i]时的最大价值,也是相当于为第i件物品腾出了m[i]的空间。

    如果不拿,dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ] , 同(1)

    究竟是拿还是不拿,自然是比较这两种情况那种价值最大。

    例题

    #include<iostream>
    using namespace std;
    int dp[101][101] = {0},x[101] = {0};
    int m[101] = {0,15,10,12,8};  //投资 
    int v[101] = {0,12,8,9,5};	  //收益 
    int c = 30,n = 4; //c为总重, n为种类数 
    void trace(){
    	for(int i = 4; i > 1; i--){
    		if(dp[i][c] == dp[i-1][c])
    			x[i] = 0;
    		else{
    			x[i] = 1;
    			c -= m[i];
    		}
    	}
    	x[1] = dp[1][c]>0 ? 1:0; 
    	for(int i = 1; i <= n; i++)
    		cout << x[i] << " ";  
    	cout << endl;
    }
    int main(){
    
    	for(int i = 1; i <= n; i++){
    		for(int j = 1; j <= c; j++){
    			if(j >= m[i]){         //注意等号
    				dp[i][j] = dp[i-1][j-m[i]]+v[i]>dp[i-1][j] ? dp[i-1][j-m[i]]+v[i]:dp[i-1][j];
    			}
    			else
    				dp[i][j] = dp[i-1][j];
    		}
    	}
    	for(int i = 1; i <= n; i++){
    		for(int j = 1; j <= c; j++){
    			cout << dp[i][j] << " ";
    		}
    		cout << endl;
    	}
    	cout << dp[n][c] << endl;
    	trace();         // 输出方案 
    	            
    	return 0;
    } 
    
    
    
    

    结果

    0 1 1 1表示选择后3个,即B C D项目

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Mrwho1/p/9221080.html
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